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Progressão geométrica ( P. G ) é toda sequência de números não nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo ( a partir do segundo ) pelo termo anterior que recebe o nome de razão q.
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf P.G\,(\, 4,12, \cdots , a_n\,) \\ \sf n = \;? \\\sf S_n = 4\,372 \end{cases} } $ }[/tex]
Resolução:
Encontrar a razão da P.G.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{12}{4} = 3 } $ }[/tex]
A fórmula para a soma dos termos de uma P.G é:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S_n = \dfrac{a_1 \cdot (\, q^{n} - 1\,) }{q - 1} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 4\,372 = \dfrac{ 4 \cdot (\, 3^{n} - 1\,) }{3 - 1} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 4\,372 = \dfrac{ 4 \cdot (\, 3^{n} - 1\,) }{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 4\,372 = 2 \cdot (\, 3^{n} - 1\,) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{4\,372}{2} = (\, 3^{n} - 1\,) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 2\, 186 + 1 = 3^{n} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 2\, 187 = 3^{n} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{array}{r|l} \sf 2\,187& \sf 3\\ \sf 729 &\sf 3\\ \sf 243 &\sf 3 \\\sf 81&\sf 3\\ \sf 27 & \sf 3\\\sf 9 & \sf 3\\\sf 3 & \sf 3 \\\sf 1\end{array} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 3^{7} = 3^{n} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \backslash\!\!\!{3 }\:{}^{ 7 } = \backslash\!\!\!{3 }\:{}^{ n } } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ n = 7 \; termos } $ }[/tex]
Portanto, a P.G finita possui sete termos.
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