Resposta:
Letra C) b + c = 2
Explicação passo a passo:
Para essa questão, usaremos as relações de Girard.
Para uma equação do terceiro, grau, temos:
[tex]ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\\\\x_{1} + x_{2} +x_{3} = -\frac{b}{a} \\x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a} \\x_{1} x_{2} x_{3} = -\frac{d}{a}[/tex]
X1, X2 e X3 são as raízes da equação.
Se uma equação possui uma raiz complexa, o seu conjugado também é uma raiz da equação, ou seja, temos as três raízes da questão.
[tex]x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0\\x_{1} = 1\\x_{2} = 1+2i\\x_{3} = 1-2i[/tex]
Usando a segunda e a terceira relação de girard, temos:
[tex]x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{b}{a}\\\\1*(1+2i) + 1*(1-2i) + (1+2i)(1-2i) = b\\\\1 + 2i + 1 - 2i + 1 - 2i + 2i - 4i^{2} = b\\b = 7[/tex]
[tex]x_{1} x_{2} x_{3} = -\frac{c}{a}\\\\1(1+2i)(1-2i) = -c\\1 -4i^{2} = -c\\\\c = -5[/tex]
Assim, b + c = 7 - 5 = 2
