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Sagot :
De acordo com a explicação abaixo, existem 32 subconjuntos do conjunto A, sendo eles {}, {0}, {2}, {4}, {6}, {8}, {0 ; 2}, {0 ; 4}, {0 ; 6}, {0 ; 8}, {2 ; 4}, {2 ; 6}, {2 ; 8}, {4 ; 6}, {4 ; 8}, {6 ; 8}, {0 ; 2 ; 4}, {0 ; 2 ; 6}, {0 ; 2 ; 8}, {0 ; 4 ; 6}, {0 ; 4 ; 8}, {0 ; 6 ; 8}, {2 ; 4 ; 6}, {2 ; 4 ; 8}, {2 ; 6 ; 8}, {4 ; 6 ; 8}, {0 ; 2 ; 4 ; 6}, {0 ; 2 ; 4 ; 8}, {0 ; 4 ; 6 ; 8}, {2 ; 4 ; 6 ; 8} e {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8}.
Vamos entender o porquê?
Inicialmente, há que estabelecer dois pontos de partida:
- O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é dado pela fórmula [tex]\#_{Subconjuntos}=2^n[/tex]
- O número de subconjuntos com m elementos de um conjunto com n elementos é dado pela fórmula [tex]\#_{Subconjuntos\;com\;m\;elementos}=C_m^n[/tex]
Ainda, é importante relembrar a fórmula para o cálculo de uma Combinação:
[tex]\boxed{C^n_m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}}[/tex]
Com isto, podemos começar a resolver o exercício.
Inicialmente, vamos determinar quantos subconjuntos de A existem:
Como o conjunto A possui 5 elementos,
[tex]\#_{Subconjuntos\;de\;A}=2^5=32[/tex]
Logo, existem 32 subconjuntos de A.
Resta-nos, agora, determinar quais são estes conjuntos.
- Conjuntos com 0 elementos
Vamos começar por determinar quantos subconjuntos de 0 elementos são esperados:
[tex]\begin{array}{l}\quad\;\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;0\;elementos}=C^5_0=\dfrac{5!}{0!(5-0)!}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;0\;elementos}=C^5_0=\dfrac{5!\!\!\!\!/}{0!\times5!\!\!\!\!/}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;0\;elementos}=C^5_0=\dfrac{1}{0!}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;0\;elementos}=C^5_0=\dfrac{1}{1}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;0\;elementos}=1\end{array}[/tex]
Este único conjunto de 0 elementos é o conjunto vazio: [tex]\{\;\}[/tex]
- Conjuntos com 1 elementos
Vamos começar por determinar quantos subconjuntos de 1 elemento são esperados:
[tex]\begin{array}{l}\quad\;\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;1\;elemento}=C^5_1=\dfrac{5!}{1!(5-1)!}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;1\;elemento}=C^5_1=\dfrac{5!}{1!\times4!}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;1\;elemento}=C^5_1=\dfrac{5\times4!\!\!\!\!/}{1!\times4!\!\!\!\!/}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;1\;elemento}=C^5_1=\dfrac{5}{1}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;1\;elemento}=5\end{array}[/tex]
Estes 5 conjuntos de 1 elemento são: [tex]\{0\},\;\{2\},\;\{4\},\;\{6\},\;\{8\}[/tex]
- Conjuntos com 2 elementos
Vamos começar por determinar quantos subconjuntos de 2 elementos são esperados:
[tex]\begin{array}{l}\quad\;\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;2\;elementos}=C^5_2=\dfrac{5!}{2!(5-2)!}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;2\;elementos}=C^5_2=\dfrac{5!}{2!\times3!}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;2\;elementos}=C^5_2=\dfrac{5\times4\times3!\!\!\!\!/}{2!\times3!\!\!\!\!/}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;2\;elementos}=C^5_2=\dfrac{5\times4}{2\times1}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;2\;elementos}=C^5_2=\dfrac{20}{2}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;2\;elementos}=10\end{array}[/tex]
Estes 10 conjuntos de 2 elementos são: [tex]\{0\;;\;2\},\;\{0\;;\;4\},\;\{0\;;\;6\},\;\{0\;;\;8\},\;\{2\;;\;4\},\;\{2\;;\;6\},\;\{2\;;\;8\},\;\{4\;;\;6\},\;\{4\;;\;8\},\;\{6\;;\;8\}[/tex]
- Conjuntos com 3 elementos
Vamos começar por determinar quantos subconjuntos de 3 elementos são esperados:
[tex]\begin{array}{l}\quad\;\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;3\;elementos}=C^5_3=\dfrac{5!}{3!(5-3)!}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;3\;elementos}=C^5_3=\dfrac{5!}{3!\times2!}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;3\;elementos}=C^5_3=\dfrac{5\times4\times3!\!\!\!\!/}{3!\!\!\!\!/\:\times2!}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;3\;elementos}=C^5_3=\dfrac{5\times4}{2\times1}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;3\;elementos}=C^5_3=\dfrac{20}{2}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;3\;elementos}=10\end{array}[/tex]
Estes 10 conjuntos de 3 elementos são: [tex]\{0\;;\;2\;;\;4\},\;\{0\;;\;2\;;\;6\},\;\{0\;;\;2\;;\;8\},\;\{0\;;\;4\;;\;6\},\;\{0\;;\;4\;;\;8\},\\\{0\;;\;6\;;\;8\},\;\{2\;;\;4\;;\;6\},\;\{2\;;\;4\;;\;8\},\;\{2\;;\;6\;;\;8\},\;\{4\;;\;6\;;\;8\}[/tex]
- Conjuntos com 4 elementos
Vamos começar por determinar quantos subconjuntos de 4 elementos são esperados:
[tex]\begin{array}{l}\quad\;\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;4\;elementos}=C^5_4=\dfrac{5!}{4!(5-4)!}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;4\;elementos}=C^5_4=\dfrac{5!}{4!\times1!}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;4\;elementos}=C^5_4=\dfrac{5\times4!\!\!\!\!/}{4!\!\!\!\!/\:\times1!}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;4\;elementos}=C^5_4=\dfrac{5}{1}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;4\;elementos}=5\end{array}[/tex]
Estes 5 conjuntos de 4 elementos são: [tex]\{0\;;\;2\;;\;4\;;\;6\},\;\{0\;;\;2\;;\;4\;;\;8\},\;\{0\;;\;2\;;\;6\;;\;8\},\;\{0\;;\;4\;;\;6\;;\;8\},\;\{2\;;\;4\;;\;6\;;\;8\}[/tex]
- Conjuntos com 5 elementos
Vamos começar por determinar quantos subconjuntos de 5 elementos são esperados:
[tex]\begin{array}{l}\quad\;\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;5\;elementos}=C^5_5=\dfrac{5!}{5!(5-5)!}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;5\;elementos}=C^5_5=\dfrac{5!\!\!\!\!/}{5!\!\!\!\!/\times0!}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;5\;elementos}=C^5_5=\dfrac{1}{1}\Leftrightarrow\\{}\\\Leftrightarrow\#_{Subconjuntos\;de\;A\;com\;5\;elementos}=1\end{array}[/tex]
Este conjunto de 5 elementos é o próprio conjunto A: [tex]\{0\;;\;2\;;\;4\;;\;6\;;\;8\}[/tex]
Assim, conclui-se que existem 32 subconjuntos de A, sendo eles:
- 1 conjunto vazio:
[tex]\{\;\}[/tex]
- 5 conjuntos de 1 elemento:
[tex]\{0\},\;\{2\},\;\{4\},\;\{6\},\;\{8\}[/tex]
- 10 conjuntos de 2 elementos:
[tex]\{0\;;\;2\},\;\{0\;;\;4\},\;\{0\;;\;6\},\;\{0\;;\;8\},\;\{2\;;\;4\},\\\{2\;;\;6\},\;\{2\;;\;8\},\;\{4\;;\;6\},\;\{4\;;\;8\},\;\{6\;;\;8\}[/tex]
- 10 conjuntos de 3 elementos:
[tex]\{0\;;\;2\;;\;4\},\;\{0\;;\;2\;;\;6\},\;\{0\;;\;2\;;\;8\},\;\{0\;;\;4\;;\;6\},\;\{0\;;\;4\;;\;8\},\\\{0\;;\;6\;;\;8\},\;\{2\;;\;4\;;\;6\},\;\{2\;;\;4\;;\;8\},\;\{2\;;\;6\;;\;8\},\;\{4\;;\;6\;;\;8\}[/tex]
- 5 conjuntos de 4 elementos:
[tex]\{0\;;\;2\;;\;4\;;\;6\},\;\{0\;;\;2\;;\;4\;;\;8\},\;\{0\;;\;2\;;\;6\;;\;8\},\;\{0\;;\;4\;;\;6\;;\;8\},\;\{2\;;\;4\;;\;6\;;\;8\}[/tex]
- 1 conjuntos de 5 elementos:
[tex]\{0\;;\;2\;;\;4\;;\;6\;;\;8\}[/tex]
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