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Utilizando a regra do paralelogramo, concluímos que o módulo de vetor resultante é dado por [tex]\mathsf{\left|\overset{\rightarrow}{\sf S}\right| = 3\sqrt{19} \ m}[/tex].
Suponhamos dois vetores [tex]\mathsf{\overset{\rightarrow}{\sf u}}[/tex] e [tex]\mathsf{\overset{\rightarrow}{\sf v}}[/tex], de módulos respectivamente iguais a [tex]\mathsf{u}[/tex] e [tex]\mathsf{v}[/tex], tais que entre eles possuímos um ângulo qualquer [tex]\mathsf{\beta}[/tex]. O módulo do vetor-soma [tex]\overset{\rightarrow}{\sf S}[/tex], tal que [tex]\mathsf{\overset{\rightarrow}{\sf S} = \overset{\rightarrow}{\sf u} + \overset{\rightarrow}{\sf v}}[/tex], é dado pela regra do paralelogramo:
[tex]\boxed{\mathsf{S^2 = u^2 + v^2 + 2uv \cdot \cos \beta}}[/tex]
Da questão, temos que:
[tex]\mathsf{\begin{cases}\mathsf{\left|\overset{\rightarrow}{\sf u}\right| = 6 \ m}\\\mathsf{\left|\overset{\rightarrow}{\sf v}\right| = 9 \ m}\\\mathsf{\beta = 60^{\circ}}\\\mathsf{\left|\overset{\rightarrow}{\sf S}\right| = \ ?}\\\end{cases}}[/tex]
Aplicando os dados na fórmula para o módulo da soma dos vetores, temos:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow S^2 = u^2 + v^2 + 2uv \cdot \cos \beta}\\\mathsf{\Longleftrightarrow S^2 = 6^2 + 9^2 + 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \cos 60^{\circ}}\\[/tex]
Da trigonometria básica, temos que [tex]\mathsf{\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}}[/tex], ou seja:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow S^2 = 6^2 + 9^2 + 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \cos 60^{\circ}}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow S^2 = 36 + 81 + 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \dfrac{1}{2}}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow S^2 = 117 + 54}\\\mathsf{\Longleftrightarrow S^2 = 171}\\[/tex]
Fatorando o número 171, temos que:
[tex]\begin{array}{r|l} \mathsf{171}& \mathsf{3}\\ \mathsf{57} & \mathsf{3}\\ \mathsf{19} & \mathsf{19}\\ \mathsf{1}& \!\! \overline {~\mathsf{171 = 3^2 \cdot 19}}\end{array}[/tex]
Voltando à expressão:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow S^2 = 171}\\\mathsf{\Longleftrightarrow S^2 = 3^2 \cdot 19}\\\mathsf{\Longleftrightarrow S = \pm 3\sqrt{19}}\\[/tex]
Como não faz sentido o módulo de um vetor ser negativo, concluímos então que o módulo de vetor resultante é dado por:
[tex]\boxed{\mathsf{\left|\overset{\rightarrow}{\sf S}\right| = 3\sqrt{19} \ m}}[/tex]
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- brainly.com.br/tarefa/60700335.
