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Resposta:
Vamos calcular o comprimento do vetor v primeiro. O comprimento do vetor v é dado pela fórmula |v| = √(v.v), onde v.v representa o produto escalar do vetor v por ele mesmo.
Então, temos:
v = (m+7)i + (m+2)j + 5k
O produto escalar de v por ele mesmo é:
v.v = (m+7)^2 + (m+2)^2 + 5^2
= (m^2 + 14m + 49) + (m^2 + 4m + 4) + 25
= 2m^2 + 18m + 78
Assim, o comprimento do vetor v é:
|v| = √(2m^2 + 18m + 78)
Agora, temos que resolver a equação |v| = √38 para encontrar o valor de m.
Então, teremos:
√(2m^2 + 18m + 78) = √38
2m^2 + 18m + 78 = 38
2m^2 + 18m + 40 = 0
Vamos resolver essa equação de segundo grau usando a fórmula de Bhaskara:
m = (-18 ± √(18^2 - 4*2*40)) / (2*2)
m = (-18 ± √(324 - 320)) / 4
m = (-18 ± √4) / 4
m1 = (-18 + 2) / 4
m1 = -16 / 4
m1 = -4
m2 = (-18 - 2) / 4
m2 = -20 / 4
m2 = -5
Portanto, temos que m pode ser -4 ou -5 para que |v| seja igual a √38.