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Resposta:
Ao se resolver a inequação x² - 7x + 10 < 0, através do método analítico, nós observamos que a solução encontrada está no intervalo (2, 5).
Por favor, acompanhar a Explicação passo-a-passo.
Explicação passo-a-passo:
Para resolver a inequação [tex] x^2 - 7x + 10 < 0 [/tex] pelo método analítico, precisamos seguir alguns passos:
Inicialmente, nós resolvemos a equação [tex] x^2 - 7x + 10 = 0 {.} [/tex]
Vamos empregar a fórmula de Bhaskara:
[tex] x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\a = 1 \quad b = -7 \quad c = 10 \\ x = \dfrac{-(-7) \pm\sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot (1)} \\ x = \dfrac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} \\x = \dfrac{7 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} \\ x= \dfrac{7 \pm 3}{2} \\ x_1 = \dfrac{7 - 3}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \\ x_2 = \dfrac{7 + 3}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 [/tex]
As raízes da equação quadrática associada são:
[tex] x = 2 \\ x = 5 [/tex]
As raízes [tex] x_1 = 2 [/tex] e [tex] x_2 = 5 [/tex] dividem a reta numérica em três intervalos:
[tex] (-\infty, 2), \quad (2, 5), \quad (5, \infty) [/tex]
3. Analisar o sinal da expressão em cada intervalo
Para cada intervalo, nós iremos selecionar um ponto e substituímos, na expressão [tex] x^2 - 7x + 10 [/tex] para determinar o sinal.
- Intervalo [tex] (-\infty, 2) {:} [/tex]
[tex] x = 0 \longrightarrow 0^2 - 7 \cdot 0 + 10 = 10 > 0 [/tex]
- Intervalo [tex] (2, 5) {:} [/tex]
[tex] x = 3 \longrightarrow 3^2 - 7 \cdot 3 + 10 = 9 - 21 + 10 = -2 < 0 [/tex]
- Intervalo [tex] (5, \infty) {:} [/tex]
[tex] x = 6 \longrightarrow 6^2 - 7 \cdot 6 + 10 = 36 - 42 + 10 = 4 > 0 [/tex]
A expressão [tex] x^2 - 7x + 10 [/tex]) é negativa no intervalo [tex] (2, 5) {.} [/tex]
Portanto, a solução da inequação [tex] x^2 - 7x + 10 < 0 [/tex] é:
[tex] \boxed{(2, 5)} [/tex]