Resposta:
Portanto, os autovalores da transformação linear T são 7 e -6 (com multiplicidade algébrica 2).
Explicação passo a passo:
T(v) = λv
Vamos representar o vetor v como (x, y, z). Então a equação acima se torna:
(7x + z, -6y + z, -6z) = λ(x, y, z)
Isso nos dá o sistema de equações:
7x + z = λx
-6y + z = λy
-6z = λz
Reorganizando as equações, temos:
(7 - λ)x + z = 0
-6y + (1 - λ)z = 0
-6z - λz = 0
Para que esse sistema tenha uma solução não trivial (ou seja, um vetor v não nulo), o determinante da matriz de coeficientes deve ser zero. A matriz de coeficientes é:
| 7-λ 0 1 |
| 0 -6-λ 1 |
| 0 0 -6-λ|
Use code with caution.
Calculando o determinante, obtemos:
(7 - λ)(-6 - λ)(-6 - λ) = 0
Isso nos dá três possíveis valores para λ:
λ = 7
λ = -6
λ = -6
