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Para compreender como encontrar a inversa de uma matriz, é essencial entender alguns conceitos básicos de álgebra linear. A inversa de uma matriz [tex]\(A\)[/tex] é uma matriz[tex]\(A^{-1}\)[/tex] que, quando multiplicada por [tex]\(A\),[/tex] resulta na matriz identidade \(I\). Em notação matemática, isso é expresso como:
[tex]\[ A \cdot A^{-1} = I \][/tex]
Para que uma matriz[tex]\(A\)[/tex]tenha uma inversa, ela deve ser uma matriz quadrada (o número de linhas deve ser igual ao número de colunas) e seu determinante não pode ser zero. O determinante é um valor escalar que dá informações sobre algumas propriedades da matriz, incluindo se ela é invertível ou não.
Para Encontrar a Inversa de uma Matriz 2x2
1. Verificar a Invertibilidade
Para uma matriz [tex]\(A\)[/tex] de ordem 2x2, dada por:
[tex]\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \][/tex]
A matriz [tex]\(A\)[/tex] é invertível se o seu determinante[tex](\(\det(A)\))[/tex]for diferente de zero. O determinante de uma matriz 2x2 é calculado como:
[tex]\[ \det(A) = ad - bc \][/tex]
2. Fórmula para a Inversa de uma Matriz 2x2
Se a matriz é invertível, a fórmula para encontrar a inversa de uma matriz 2x2 é:
[tex]\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \][/tex]
Aqui, os elementos da matriz [tex]\(A\)[/tex] são rearranjados, e o determinante é usado como um fator de escala para assegurar que o produto [tex]\(A \cdot A^{-1}\)[/tex] resulte na matriz identidade.
[tex]\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \][/tex]
Cálculo do Determinante
Primeiro, calculamos o determinante de [tex]\(A\):[/tex]
[tex]\[ \det(A) = (2 \cdot 3) - (1 \cdot 4) \]\[ \det(A) = 6 - 4 \]\[ \det(A) = 2 \][/tex]
Como o determinante é diferente de zero [tex](\(\det(A) = 2\)),[/tex] a matriz [tex]\(A\)[/tex] é invertível.
Aplicação da Fórmula da Inversa
Usando a fórmula para a inversa, substituímos os elementos da matriz [tex]\(A\)[/tex] e o valor do determinante:
[tex]\[ A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} \][/tex]
Multiplicação Escalar
Agora, multiplicamos cada elemento da matriz resultante pelo escalar [tex]\(\frac{1}{2}\):[/tex]
[tex]\[ A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \][/tex]
Portanto, a inversa da matriz[tex]\(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}\)[/tex] é:
[tex]\[ A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \][/tex]
Esse processo ilustra a aplicação da teoria da inversa de matrizes 2x2, verificando a invertibilidade através do determinante e aplicando a fórmula apropriada para encontrar a matriz inversa.
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