Vamos analisar cada afirmativa:
1. Se os vetores forem perpendiculares, o vetor diferença entre eles tem módulo igual a 10 cm.
Se os vetores[tex]\(\mathbf{a}\)[/tex] e [tex]\(\mathbf{b}\)[/tex] forem perpendiculares, a diferença entre eles não é diretamente relacionada ao teorema de Pitágoras da mesma forma que a soma. Na verdade, a diferença [tex]\(\mathbf{a} - \mathbf{b}\)[/tex] pode ser calculada usando a fórmula:
[tex]\[ |\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta} \][/tex]
Para vetores perpendiculares, [tex]\(\cos 90^\circ = 0\),[/tex] então:
[tex]\[ |\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \][/tex]
Portanto, essa afirmativa é verdadeira (V).
2. O vetor soma desses vetores terá módulo igual a 14 cm, desde que eles apresentem o mesmo sentido.
Se os vetores [tex]\(\mathbf{a}\)[/tex] e [tex]\(\mathbf{b}\)[/tex] tiverem o mesmo sentido, a soma deles é simplesmente a soma dos módulos:
[tex]\[ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}| = 8 \text{ cm} + 6 \text{ cm} = 14 \text{ cm} \][/tex]
Portanto, essa afirmativa é verdadeira (V).
3. O módulo da resultante entre os vetores está compreendido entre 2 cm e 14 cm.
A magnitude da resultante pode ser calculada com base na fórmula para a soma e a diferença. O módulo da soma é o maior valor, e o módulo da diferença pode ser o menor valor:
- Módulo da soma:[tex]\(\sqrt{8^2 + 6^2 + 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos \theta}\)[/tex] onde [tex]\(\theta\)[/tex] é o ângulo entre os vetores. O máximo ocorre quando [tex]\(\cos \theta = 1\)[/tex], resultando em [tex]\(14 \text{ cm}\).[/tex]
- Módulo da diferença: [tex]\(\sqrt{8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos \theta}\) onde \(\theta = 0^\circ\), resulta em \(2 \text{ cm}\) quando \(\cos \theta = -1\).[/tex]
Portanto, o módulo da resultante está de fato compreendido entre 2 cm e 14 cm. Esta afirmativa é verdadeira (V).
4. Se os vetores formarem, entre si, um ângulo de 90°, o vetor diferença entre eles tem módulo igual a 11 cm.
Já vimos que para vetores perpendiculares:
[tex]\[ |\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \][/tex]
Portanto, a afirmativa é falsa (F).
A alternativa correta é:
05) V V V F
O que são vetores, módulos e sentidos?
Vamos abordar cada conceito de forma clara:
Vetores
Vetores são objetos matemáticos que possuem duas características principais: magnitude (ou módulo) e **direção**. Eles são representados por setas, onde:
- Magnitude (ou módulo): A extensão ou comprimento da seta.
- Direção: O ângulo que a seta forma com uma linha de referência, indicando para onde o vetor aponta.
Os vetores são utilizados em várias áreas, incluindo física, engenharia e matemática, para representar grandezas que têm tanto uma quantidade quanto uma direção.
Módulo
O módulo de um vetor é simplesmente o seu comprimento. Em termos matemáticos, se você tem um vetor [tex]\(\mathbf{v}\)[/tex] no plano com coordenadas [tex]( x, y )[/tex] o módulo [tex]|\mathbf{v}|\)[/tex] é dado pela fórmula:
[tex]\[|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\][/tex]
No espaço tridimensional com coordenadas [tex]\((x, y, z)\),[/tex] a fórmula é:
[tex]\[|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\][/tex]
O módulo indica a "tamanho" do vetor e é sempre um número não negativo.
Sentido
O sentido de um vetor refere-se à orientação da sua direção. Em outras palavras, é a direção na qual o vetor aponta. O sentido é crucial para entender como os vetores se combinam e interagem. Os vetores podem ter:
- O mesmo sentido: Se apontam na mesma direção.
- Sentidos opostos: Se apontam em direções opostas.
- Sentidos diferentes: Se apontam em direções não alinhadas.
Exemplo
Para ilustrar, considere um vetor [tex]\(\mathbf{v}\)[/tex] com módulo 5 e que aponta para a direita. Se você tem um vetor [tex]\(\mathbf{u}\)[/tex] com módulo 3 e que aponta para a mesma direção que [tex]\(\mathbf{v}\),[/tex] ambos os vetores têm o mesmo sentido, mas magnitudes diferentes. Se [tex]\(\mathbf{u}\)[/tex] apontasse para a esquerda, então [tex]\(\mathbf{u}\)[/tex] e [tex]\(\mathbf{v}\)[/tex] teriam sentidos opostos.
Resumo
- Vetores têm magnitude e direção.
- O módulo é a medida da magnitude do vetor.
- O sentido é a orientação ou direção do vetor.
Esses conceitos são fundamentais para compreender operações vetoriais como soma, subtração e cálculo de ângulos entre vetores.
Caso ainda esteja com alguma dúvida:
Vetores:
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Módulos:
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Sentido:
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