(Tarefa— 61000286)
Após a realização dos cálculos✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de equação de segundo grau que a fórmula resolutiva de desta equação de raízes r₁ e r₂ é dada por
[tex]\rm r_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]✅
Equação de segundo grau
É toda equação que se reduz a forma [tex]\rm ax^2+bx+c=0[/tex] onde [tex]\rm a,b,c\in\mathbb{R},a\ne0[/tex]. As raízes de uma equação de segundo grau são os valores da variável que tornam a igualdade verdadeira e pode-se demonstrar que são dadas por
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\rm r_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}}}[/tex]
✍️Vamos a resolução do exercício
Aqui vamos partir da definição de equação de segundo grau e dividir toda a expressão por a:
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf ax^2+bx+c=0\\\\\sf\dfrac{\bigg/\!\!\!\!ax^2}{\bigg/\!\!\!\!a}+\dfrac{bx}{a}+\dfrac{c}{a}=0\\\\\sf x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\end{array}}}[/tex]
Usando o princípio aditivo vamos subtrair c/a dos dois lados:
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf x^2+\dfrac{b}{a}x+\bigg/\!\!\!\!\!\dfrac{c}{a}-\bigg/\!\!\!\!\dfrac{c}{a}=0-\dfrac{c}{a}\\\\\sf x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}\end{array}}}[/tex]
Vamos completar os quadrados da expressão somando (b/2a)² em ambos os lados (princípio aditivo).
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf x^2+\dfrac{b}{a}x+\bigg(\dfrac{b}{2a}\bigg)^2=\bigg(\dfrac{b}{2a}\bigg)^2-\dfrac{c}{a}\\\\\sf x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}=\dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{c}{a}\end{array}}}[/tex]
Vamos multiplicar os dois lados da igualdade por 4a² para obter uma igualdade equivalente e sem denominadores (princípio multiplicativo)
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf 4a^2x^2+4\overline{\hspace{0.6cm}}\hspace{-0.3cm}a^2\cdot\dfrac{b}{\overline{\hspace{0.6cm}}\hspace{-0.3cm}a}x+\overline{\hspace{1cm}}\hspace{-0.8cm}4a^2\cdot\dfrac{b^2}{\overline{\hspace{1cm}}\hspace{-0.8cm}4a^2}=\overline{\hspace{1cm}}\hspace{-0.8cm}4a^2\cdot\dfrac{b^2}{\overline{\hspace{1cm}}\hspace{-0.8cm}4a^2}-4\overline{\hspace{0.6cm}}\hspace{-0.3cm}a^2\cdot\dfrac{c}{\overline{\hspace{0.6cm}}\hspace{-0.3cm}a}\\\\\sf 4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac\end{array}}}[/tex]
Observe que agora temos um trinômio quadrado perfeito do lado esquerdo e portanto podemos fatorá-lo
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf (2ax+b)^2=b^2-4ac\\\sf 2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}\\\sf 2ax=-b\pm\sqrt{b^2-4ac}\\\sf x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}}}[/tex]
Como temos dois possíveis valores para x podemos escrever
[tex]\Large{\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf r_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~\blacksquare\end{array}}}[/tex]
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- brainly.com.br/tarefa/56703858
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