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Considere a seguinte situação:
Uma estrela, cuja massa é 265 vezes a massa do Sol (2,0 × 10³⁰kg), toma a posição de estrela do Sistema Solar, ao invés do Sol, e a Terra descreve sua órbita por essa estrela com o mesmo raio médio.
De quanto seria a duração de um ano terrestre sob influência dessa mesma estrela? Justifique por via de cálculos.

Dados: distância média entre a Terra e o Sol equivale a 1,5 × 10¹¹m; constante gravitacional equivale a 6,7 × 10⁻¹¹Nm²/kg².

[A] 3 horas
[B] 3 dias
[C] 3 semanas
[D] 3 meses
[E] 3 anos

Sagot :

Edwilsonmatidn

Letra c) 3 semanas

Confia, ja fiz as contas

Dalmofisicaidn

Resposta: Alternativa C - Aproximadamente 3 semanas.

Para resolver essa questão vamos usar uma relação que envolve a lei da gravitação universal e a terceira lei de Kepler para os movimentos planetários.

Devemos fazer algumas considerações:

1. A força gravitacional entre a Terra e a estrela (Sol ou a outra hipotética) é a resultante centrípeta;

2. Matematicamente temos,

[tex]Fg =\frac{GMm}{R^{2} } \\\\Fcentripeta = \frac{mV^{2} }{R}[/tex]

sendo que:

________________________________________________________

G = constante universal = 6,7x10⁻¹¹Nm²/kg

M = Msol =2x10³⁰Kg e Mestrela = 530x10³⁰Kg

R = Raio médio entre Terra e Sol = 1,5x10¹¹m

V = velocidade de translação da Terra

m = massa da Terra

________________________________________________________

3. Considerando o movimento de translação da Terra em torno do Sol praticamente circular, temos que V = ωR, sendo ω a velocidade angular da Terra, nesse movimento e que ω=[tex]\frac{2\pi }{T}[/tex] , onde T é o período (tempo para uma volta) da terra nesse movimento.

4. A comparação entre Força gravitacional e Resultante centrípeta fica assim:

[tex]\frac{GMm}{R^{2} } = \frac{mV^{2} }{R} \\\\[/tex]

Dá pra ver daqui que a massa da Terra não vai interferir, como aparece dos dois lados da equação, podemos cancelar. Também no denominador podemos cancelar um R do primeiro termo com o R do segundo termo. Fazendo isso e substituindo V = ωR, teremos:

[tex]\frac{GM}{R} =[/tex]  (ωR)²   ⇒ sendo ω=2π/T  ⇒  [tex]\frac{GM}{R} =\frac{(2\pi R) ^{2} }{T^{2} } \\\\GMT^{2} = (2\pi R)^{2}.R\\ \\\\ \\T^{2} = \frac{(2\pi R)^{2} R}{GM} == > \frac{T^{2} }{R^{2} R} = \frac{4\pi ^{2} }{GM}[/tex]

O primeiro membro dessa última equação é a terceira lei de Kepler.

5. Agora vamos resolver o problema do Período da translação da Terra em torna da "Nova Estrela", a partir dessa última equação.

T² =  (1,5x10¹¹)³.4.π²/6,7x10¹¹.2.10³⁰.265    (vamos considerar π²≅10)

T² = (3,375x10³³.40)/ 3552x10¹⁹

T² = 135x10³³ / 3551x10¹⁹  

T²≅0,04x10¹⁴  ⇒ T² ≅ 4x10¹²  ⇒ T ≅ √ 4x10¹² ⇒ T ≅ 2x10⁶s

Como 1h = 3600s ⇒ 24h = 86400s = 1 dia, assim, o período de translação da Terra em torno da "nova estrela" será 2x10⁶s  ÷ 86400s = 23,14 dia.

Portanto o tempo de translação da Terra em torno da "nova estrela" será se aproximadamente 23 dias, que podemos ter como resposta certa a alternativa C (3 semanas).

Para entender mais sobre leis de Kepler e Gravitação Universal:

https://brainly.com.br/tarefa/58869412?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/12544331?referrer=searchResults

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