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Sagot :
Resposta:
Os valores possíveis para "x" encontram-se no intervalo ]-3, 1[.
Explicação passo-a-passo:
Antes de iniciarmos a resolução da Tarefa, nós devemos identificar as frações geratrizes das bases logarítmicas, que são números decimais periódicos ou dízimas periódicas.
- O primeiro logaritmo tem a sua base igual à dízima periódica 0,333... . Vamos identificar a fração geratriz correspondente:
[tex]0,333 \ldots = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} [/tex]
- O segundo logaritmo tem a sua base igual à dízima periódica 0,111... . Vamos, também, identificar a fração geratriz correspondente:
[tex]0,111 \ldots = \dfrac{1}{9} [/tex]
Agora, vamos reescrever a inequação logarítmica, passando as bases para a forma de fração:
[tex]log_{0,333 \ldots}(3 - x) < log_{0,111 \ldots}(3 + x) \\ log_{ \frac{1}{3} }(3 - x) < log_{ \frac{1}{9} }(3 + x) [/tex]
Observamos que a base 1/9 corresponde à base 1/3 elevada ao quadrado.
Vejamos:
[tex]\dfrac{1}{9} = \dfrac{ {1}^{2} }{ {3}^{2} } = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2} [/tex]
Novamente, nós podemos reescrever a inequação logarítmica:
[tex]log_{ \frac{1}{3} }(3 - x) < log_{ \frac{1}{9} }(3 + x) \\ log_{ \frac{1}{3} }(3 - x) < log_{ ({ \frac{1}{3}})^{2} }(3 + x) [/tex]
Como nós podemos verificar, a base do segundo membro da desigualdade está elevada à potência 2. Vamos utilizar a seguinte propriedade logarítmica, par resolver a potência:
[tex]log_{ {b}^{c} }(a) = \dfrac{1}{c} \times log_{b}(a) [/tex]
Assim, nós teremos:
[tex]log_{ \frac{1}{3} }(3 - x) < log_{ ({ \frac{1}{3}})^{2} }(3 + x) \\ log_{ \frac{1}{3} }(3 - x) < \dfrac{1}{2} \times log_{ \frac{1}{3} }(3 + x) \\2 \times log_{ \frac{1}{3} }(3 - x) < log_{ \frac{1}{3}}(3 + x) [/tex]
Agora, nós podemos tratar o primeiro membro da desigualdade, utilizando a seguinte propriedade logarítmica:
[tex]c \times log_{b}(a) = log_{b}( {a}^{c} ) [/tex]
Portanto:
[tex]2 \times log_{ \frac{1}{3} }(3 - x) < log_{ \frac{1}{3}}(3 + x) \\ log_{ \frac{1}{3} }( {3 - x})^{2} < log_{ \frac{1}{3} }(3 + x) [/tex]
As bases de ambos os logaritmos são números fracionários. Para a continuação da resolução, nós nos valeremos da seguinte propriedade logarítmica:
[tex]log_{ \frac{1}{b} }(a) < log_{ \frac{1}{b} }(c) \longleftrightarrow a > c[/tex]
Portanto:
[tex]log_{ \frac{1}{3} }( {3 - x})^{2} < log_{ \frac{1}{3} }(3 + x) \\ {(3 - x)}^{2} > (3 + x)[/tex]
Agora, nós iremos desenvolver a inequação:
[tex] (3-x)^2 > (3 + x) \\ (3)^2 - 2 \times (3) \times (x) + (x)^2 > 3 + x \\ 9 - 6x + x^2 > 3 + x \\ 9 - 6x + x^2 - x - 3 > 0 \\ x^2 - 6x - x + 9 - 3 > 0 \\ x^2 - 7x + 6 > 0 [/tex]
Estamos diante de uma inequação de segundo grau.
Vamos resolver a inequação de segundo grau, através do método analítico.
Para resolver a inequação [tex] x^2 - 7x + 6 > 0 [/tex] pelo método analítico, precisamos seguir alguns passos:
- 1. Encontrar as raízes da equação quadrática associada
Inicialmente, nós resolvemos a equação [tex] x^2 - 7x + 6 = 0 {.} [/tex]
Vamos empregar a fórmula de Bhaskara:
[tex] x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\a = 1 \quad b = -7 \quad c = 6 \\ x = \dfrac{-(-7) \pm\sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot (1)} \\ x = \dfrac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} \\x = \dfrac{7 \pm \sqrt{25}}{2} \\ x= \dfrac{7 \pm 5}{2} \\ x_1 = \dfrac{7 - 5}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \\ x_2 = \dfrac{7 + 5}{2} = \dfrac{12}{2} = 6 [/tex]
As raízes da equação quadrática associada são:
[tex] x = 1 \\ x = 6 [/tex]
- 2. Determinar os intervalos
As raízes [tex] x_1 = 1 [/tex] e [tex] x_2 = 6 [/tex] dividem a reta numérica em três intervalos:
[tex] (-\infty, 1), \quad (1, 6), \quad (6, \infty) [/tex]
- 3. Analisar o sinal da expressão em cada intervalo
Para cada intervalo, nós iremos selecionar um ponto e substituímos, na expressão [tex] x^2 - 7x + 6 [/tex] para determinar o sinal.
- Intervalo [tex] (-\infty, 1) {:} [/tex]
[tex] x = 0 \longrightarrow 0^2 - 7 \cdot 0 + 6 = 6 > 0 [/tex]
- Intervalo [tex] (1, 6) {:} [/tex]
[tex] x = 3 \longrightarrow 3^2 - 7 \cdot 3 + 6 = 9 - 21 + 6 = -6 < 0 [/tex]
- Intervalo [tex] (6, \infty) {:} [/tex]
[tex] x = 7 \longrightarrow 7^2 - 7 \cdot 7 + 6 = 49 - 49 + 6 = 6 > 0 [/tex]
A expressão [tex] x^2 - 7x + 6 [/tex] é positiva nos intervalos [tex] (-\infty, 1) [/tex] e [tex] (6, \infty) {.} [/tex]
- Conclusão
Para nós determinarmos os possíveis valores de "x", nós devemos verificar o conjunto domínio correspondente a cada logaritmo que forma a inequação logarítmica.
Assim, nós teremos:
[tex] \bullet \: log_{0,333\ldots}(3-x) \\ (3-x)>0 \\ 3-x>0 \\ 3>0+x \\ 3>x \\x<3 \\ \bullet \: log_{0,111\ldots}(3+x) \\ (3+x)>0 \\ 3+x>0 \\ x>0-3 \\ x>-3 \\ \text{portanto:} \\ -3<x<3 \: \text{ou} \: (-3, 3)[/tex]
Reunindo todas as condições, nós teremos:
[tex] \bullet \: (-\infty, 1) \: \text{e} \: (6, \infty) \\ \bullet \: (-3, 3) \\ -3 < x < 1 [/tex]
Portanto, o conjunto solução será:
- S = {x ∈ ℝ / -3 < x < 1}
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