Utilizando conceitos de trigonometria e fatoração, consegue-se provar que, dado [tex]\mathsf{\alpha \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]}[/tex], se [tex]\mathsf{sen \, \alpha + cos \, \alpha = m}[/tex], então:
[tex]\mathsf{\dfrac{sen \, (2\alpha)}{sen^3 \, \alpha + cos^3 \, \alpha} = \dfrac{2(m^2 - 1)}{m(3 - m^2)}}[/tex]
Neste exercício, utilizaremos algumas relações fundamentais da trigonometria. Se [tex]\mathsf{x \in \mathbb{R}}[/tex] é um ângulo qualquer no círculo trigonométrico, então são válidas as igualdades:
[tex]\boxed{\mathsf{\begin{matrix}\mathsf{sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1}\\\mathsf{tg^2 \, x + 1 = sec^2 \, x, \forall x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}}\\\mathsf{1 + cotg^2 \, x = cossec^2 \, x, \forall x \neq \pi + k\pi, k \in \mathbb{Z}}\end{matrix}}}[/tex]
Relembremos também a fórmula do :
[tex]\boxed{\mathsf{sen \, (2x) = 2sen \, x cos \, x}}[/tex]
Além também de uma fatoração básica, a soma ou diferença entre dois cubos:
[tex]\boxed{\mathsf{a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)}}[/tex]
Do enunciado, sabemos que [tex]\mathsf{sen \, \alpha + cos \, \alpha = m}[/tex]. Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
[tex]\mathsf{\Longrightarrow sen \, \alpha + cos \, \alpha = m}\\\mathsf{\Longleftrightarrow (sen \, \alpha + cos \, \alpha)^{2} = m^2}\\\mathsf{\Longleftrightarrow sen^2 \, \alpha + 2sen \, \alpha cos \, \alpha + cos^2 \, \alpha = m^2}\\[/tex]
Mas, da relação fundamental da trigonometria, temos que [tex]\mathsf{sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1}[/tex], o que nos informa que:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow \underbrace{\sf sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha}_{\mathsf{1}} + 2sen \, \alpha cos \, \alpha = m^2}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow 1 + 2sen \, \alpha cos \, \alpha = m^2}\\\mathsf{\Longleftrightarrow 2sen \, \alpha cos \, \alpha = m^2 - 1}\\\\\boxed{\mathsf{\Longleftrightarrow sen \, \alpha cos \, \alpha = \dfrac{m^2 - 1}{2}}}\\\\[/tex]
O motivo pelo qual queremos o produto entre [tex]\mathsf{sen \, \alpha}[/tex] e [tex]\mathsf{cos \, \alpha}[/tex] é pelo fato de ambas as expressões envolvidas no problema possuírem este termo comum.
Queremos mostrar que:
[tex]\mathsf{\dfrac{sen \, (2\alpha)}{sen^3 \, \alpha + cos^3 \, \alpha} = \dfrac{2(m^2 - 1)}{m(3 - m^2)}}[/tex]
Chamando a expressão da esquerda de [tex]\mathsf{S}[/tex], temos:
[tex]\mathsf{\Longrightarrow S = \dfrac{sen \, (2\alpha)}{sen^3 \, \alpha + cos^3 \, \alpha}}\\\\[/tex]
Sabemos, do início da tarefa, que [tex]\mathsf{sen \, (2\alpha) = 2sen \, \alpha cos \, \alpha}[/tex].
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow S = \dfrac{sen \, (2\alpha)}{sen^3 \, \alpha + cos^3 \, \alpha}}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow S = \dfrac{ 2sen \, \alpha cos \, \alpha}{sen^3 \, \alpha + cos^3 \, \alpha}}\\\\[/tex]
Lembre-se da fatoração clássica da soma de cubos: [tex]\mathsf{a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)}[/tex] e fatore o termo no denominador:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow S = \dfrac{ 2sen \, \alpha cos \, \alpha}{sen^3 \, \alpha + cos^3 \, \alpha}}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow S = \dfrac{ 2sen \, \alpha cos \, \alpha}{(sen \, \alpha + cos \, \alpha)(sen^2 \, \alpha + sen \, \alpha cos \, \alpha + cos^2 \, \alpha)}}\\\\[/tex]
Novamente, veja que [tex]\mathsf{sen^2 \, \alpha + cos^2 \, \alpha = 1}[/tex], ou seja:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow S = \dfrac{ 2sen \, \alpha cos \, \alpha}{(sen \, \alpha + cos \, \alpha)(sen^2 \, \alpha - sen \, \alpha cos \, \alpha + cos^2 \, \alpha)}}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow S = \dfrac{ 2sen \, \alpha cos \, \alpha}{(sen \, \alpha + cos \, \alpha)(1 - sen \, \alpha cos \, \alpha)}}\\\\[/tex]
Basta então substituir os valores. Sabemos que [tex]\mathsf{sen \, \alpha + cos \, \alpha = m}[/tex] e [tex]\mathsf{2sen \, \alpha cos \, \alpha = m^2 - 1}[/tex]. Assim:
[tex]\mathsf{\Longleftrightarrow S = \dfrac{2sen \, \alpha cos \, \alpha}{(sen \, \alpha + cos \, \alpha)(1 - sen \, \alpha cos \, \alpha)}}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow S = \dfrac{m^2 - 1}{m \cdot (1 - \frac{m^2 - 1}{2})}}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow S = \dfrac{m^2 - 1}{m \cdot (\frac{2}{2} - \frac{m^2 - 1}{2})}}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow S = \dfrac{m^2 - 1}{m \cdot (\frac{3 - m^2}{2})}}\\\\\mathsf{\Longleftrightarrow S = (m^2 - 1) \cdot \left[\dfrac{2}{m(3 - m^2)}\right]}\\\\[/tex]
[tex]\boxed{\mathsf{\Longleftrightarrow S = \dfrac{2(m^2 - 1)}{m(3 - m^2)}}}[/tex]
Concluímos então que, dado [tex]\mathsf{\alpha \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]}[/tex], se [tex]\mathsf{sen \, \alpha + cos \, \alpha = m}[/tex], então:
[tex]\boxed{\mathsf{\dfrac{sen \, (2\alpha)}{sen^3 \, \alpha + cos^3 \, \alpha} = \dfrac{2(m^2 - 1)}{m(3 - m^2)}}}[/tex]
Para mais conhecimento, acesse:
- brainly.com.br/tarefa/5810312.
- brainly.com.br/tarefa/4281076.
- brainly.com.br/tarefa/60984516.
