Para resolver esse problema, podemos usar o Teorema de Bayes. Vamos definir os eventos:
- [tex]\( A \)[/tex]: A moeda retirada é a moeda viciada.
- [tex]\( B \)[/tex]: O resultado do lançamento é coroa.
Queremos encontrar [tex]\( P(A|B) \)[/tex], a probabilidade de termos retirado a moeda viciada dado que o resultado do lançamento é coroa.
O Teorema de Bayes nos diz que:
[tex]\[P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\][/tex]
Vamos calcular cada um desses termos:
1. [tex]\( P(A) \)[/tex]: A probabilidade de retirar a moeda viciada.
Como há 3 moedas e apenas uma é viciada, temos:
[tex]\[ P(A) = \frac{1}{3} \][/tex]
2. [tex]\( P(B|A) \)[/tex]: A probabilidade de obter coroa dado que a moeda retirada é a moeda viciada.
Como a moeda viciada tem coroa em ambas as faces, essa probabilidade é:
[tex]\[ P(B|A) = 1 \][/tex]
3. [tex]\( P(B) \)[/tex]: A probabilidade de obter coroa em um lançamento, independentemente de qual moeda foi retirada.
Para calcular [tex]\( P(B) \)[/tex], precisamos considerar todas as moedas:
- Se a moeda viciada foi retirada (probabilidade [tex]\( \frac{1}{3} \)[/tex]), a probabilidade de obter coroa é 1.
- Se uma das moedas equilibradas foi retirada (probabilidade [tex]\( \frac{2}{3} \)[/tex]), a probabilidade de obter coroa é [tex]\( \frac{1}{2} \)[/tex].
Então, a probabilidade total de obter coroa é:
[tex]\[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\neg A) \cdot P(\neg A) \][/tex]
Onde [tex]\( \neg A \)[/tex] é o evento de não retirar a moeda viciada.
Substituindo os valores:
[tex]\[ P(B) = 1 \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \][/tex]
Agora podemos calcular [tex]\( P(A|B) \)[/tex] :
[tex]\[P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{1 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}\][/tex]
Portanto, a probabilidade de termos retirado a moeda viciada, dado que o resultado do lançamento é coroa, é [tex]\( \frac{1}{2} \)[/tex] ou 50%.
