A partir dos devidos cálculos de equilíbrio estático realizados, chegamos na conclusão de que a tensão T = 2,6 w, a direção F = 3 ,28 w e sentido θ ≈ 37,58°.
Para que um ponto material esteja em equilíbrio estático é necessário e suficiente que a resultante de todas forças que nele agem seja nula.
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ \sum \overrightarrow{ \sf F} = 0 \implies \begin{cases}\sf \sum F_x = 0 \\ \\\sf \sum F_y = 0 \end{cases} } $ }}[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
Resolução:
A origem das coordenadas na dobradiça ( ponto A ) e + y para cima
Fh e Fv os componentes horizontal e vertical da força F exercida no suporte pelo pivô.
A tensão no cabo vertical é o peso w do objeto suspenso. O peso w do suporte pode ser tomado para atuar no centro do suporte. Seja L o comprimento do suporte.
De acordo com os dados da figura em anexo, temos:
Na horizontal; temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \sum F_x = m\,a_x } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{T - F_h = 0 } $ }[/tex][tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ T = F_h } $ }[/tex]
Na vertical; temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \sum F_y = m\,a_y } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ F_v - w -w = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ F_v - 2w =0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ F_v = 2w } $ }[/tex]
Soma os torques em torno do ponto A. A força de pivô tem braço de momento zero para este eixo e, portanto, não entra na equação de torque.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \sum T = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ T\, L \, \sin{30^{\circ}} - w \cdot (\, L/2\, \cos{30^{\circ}} \,) \, - w \cdot (\,\, L\, \cos{30^{\circ}} \,) = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ T\,\diagup\!\!\!{ L }\, \sin{30^{\circ}} - w \cdot (\,\, \diagup\!\!\!{ L}/2\, \cos{30^{\circ}} \,) \, - w \cdot (\, \diagup\!\!\!{ L}\, \cos{30^{\circ}} \,) = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ T\, \sin{30^{\circ}} - w \cdot (\, 1/2\, \cos{30^{\circ}} \,) \, - w \cdot (\, \cos{30^{\circ}} \,) = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ T\, \sin{30^{\circ}} \cdot (\,3w/2\, \cos{30^{\circ}} \,) = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ T = \dfrac{3w \cos{30^{\circ}}}{2 \sin{30^{\circ}}} \implies T = 2{,}60\; w } $ }[/tex]
Logo, o valor de Fh = 2,60 w.
Agora temos os componentes de F, então podemos encontrar sua magnitude e direção.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{F^{2} = F_h^{2} + F_v^{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ F = \sqrt{F_h^2 + F_v^2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ F = \sqrt{ (\, 2{,}60\,w\,)^2 + (\, 2\,w\,)^2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ F = \sqrt{ 6{,}76 \,w^2 + 4\, w^2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ F = \sqrt{ 10{,}76 \,w^2 } } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ F = 3{,}28\; w } $ }[/tex]
Determinando o ângulo θ.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \tan{\theta} = \dfrac{F_v}{F_h} \implies \tan{\theta} = \dfrac{2\; w}{ 2{,}60\; w} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \theta = \tan^{-1} \left(\, \dfrac{2}{2{,}6} \,\right) \implies \theta \approx 37{,}58^{\circ} } $ }[/tex]
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