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Sagot :
Resposta:
Eis as respostas solicitadas pela Tarefa:
- a) A equação apresenta uma raiz dupla, se o valor de "k" for igual a 64 (k = 64);
- b) A equação apresenta duas raízes reais e diferentes, se o valor de "k" for menor do que 64 (k < 64).
Por favor, acompanhar a Explicação passo-a-passo.
Explicação passo-a-passo:
A existência de raízes reais, em uma equação de segundo grau, está condicionada às seguinte condições para o Discriminante ou Delta (Δ):
- Se o Discriminante ou o Delta for maior do que zero (Δ > 0), a equação de segundo grau admite duas raízes reais e diferentes;
- Se o Discriminante ou o Delta for menor do que zero (Δ < 0), a equação de segundo grau não admite raízes reais;
- Se o Discriminante ou o Delta for igual a zero (Δ = 0), a equação de segundo grau admite duas raízes reais e idênticas.
A Tarefa nos apresenta a seguinte equação de segundo grau:
[tex]{x}^{2} - 16x + k = 0[/tex]
Vamos determinar, primeiramente, os coeficientes "a", "b" e "c":
- coeficiente "a": é o coeficiente ligado à variável "x" de expoente 2 ou de segundo grau.
[tex]a = 1[/tex]
- coeficiente "b": é o coeficiente ligado à variável "x" de expoente 1 ou de primeiro grau:
[tex]b = - 16[/tex]
- coeficiente "c": é o coeficiente que não está ligado à variável "x" ou o termo livre ou independente:
[tex]c = k[/tex]
Na sequência, vamos determinar o Discriminante ou o Delta (Δ):
[tex] \Delta = b^2 - 4ac \\ \Delta = (-16)^2 - 4 \cdot (1) \cdot (k) \\ \Delta = 256 - 4k [/tex]
Agora, vamos à resolução da Tarefa, propriamente dita:
- a) A equação apresenta uma raiz dupla.
Se o Discriminante ou o Delta for igual a zero (Δ = 0), a equação de segundo grau apresenta uma raiz dupla.
Vejamos:
[tex] \Delta = 256 - 4k \\ \Delta = 0 \\ 256 - 4k = 0 \\ 256 = 0 + 4k \\ 256 = 4k \\ \dfrac{256}{4} = k \\ 64 = k \\ k = 64 [/tex]
Portanto, se "k" for igual a 64, a equação apresenta uma raiz dupla.
- b) A equação apresenta duas raízes reais e diferentes.
Se o Discriminante ou o Delta for maior do que zero (Δ > 0), a equação de segundo grau admite duas raízes reais e diferentes.
Vejamos:
[tex] \Delta = 256 - 4k \\ \Delta > 0 \\ 256 - 4k > 0 \\ 256 > 0 + 4k \\ 256 > 4k \\ \dfrac{256}{4} > k \\ 64 > k \\ k < 64 [/tex]
Portanto, se "k" for menor do que 64, a equação apresenta duas raízes reais e diferentes.
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