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Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Vamos analisar cada item:
(a) Em qual base o número 57 é escrito como uma sequência de três números 1?
Entendendo a representação posicional: Em uma base B, cada dígito de um número representa uma potência de B. Por exemplo, o número 123 na base 10 é [tex]1\cdot10^2 + 2\cdot10^1 + 3\cdot10^0.[/tex]
Aplicando ao problema: Queremos encontrar uma base B onde [tex]57 = 1\cdot b^2 + 1\cdot b^1 + 1\cdot b^0[/tex]. Simplificando a equação, temos:
57 = b^2 + b + 1
Resolvendo a equação: Podemos resolver essa equação por tentativa e erro ou usando a fórmula quadrática. Testando alguns valores, descobrimos que b = 7 satisfaz a equação:
7^2 + 7 + 1 = 49 + 7 + 1 = 57
Resposta: Portanto, o número 57 é escrito como uma sequência de três números 1 na base 7.
(b) Existe alguma base em que esse número pode ser uma sequência de 3 números 2? Explique.
Analisando a equação: Se o número 57 fosse escrito como uma sequência de três números 2 em uma base B, teríamos:
[tex]57 = 2\cdot b^2 + 2\cdot b^1 + 2\cdot b^0[/tex]
Simplificando:Podemos simplificar a equação:
57 = 2b^2 + 2b + 2
- Dividindo por 2: Dividindo ambos os lados por 2, obtemos:
28.5 = b^2 + b + 1
impossibilidade: A equação resultante não tem solução inteira para B. Isso significa que não existe uma base em que o número 57 possa ser escrito como uma sequência de três números 2.
Conclusão: Não existe uma base em que o número 57 possa ser escrito como uma sequência de três números 2. Isso ocorre porque a equação resultante não tem solução inteira para a base B.