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Encontre a área da equação
[tex]y=x^3-x,~~y=3x[/tex]
Chamemos [tex]f(x)=x^3-x[/tex] e [tex]g(x)=3x.[/tex]
Como o exercício não fornece o intervalo de integração, devemos, primeiramente, analisar como f(x) e g(x) se comportam uma em relação a outra em [tex]\mathbb{R},[/tex] para que possamos determinar se a área é dada por:
[tex]\begin{cases} f(x)-g(x),\text{ se }f(x) \geq g(x),\text{ ou }\\ g(x)-f(x),\text{ se }f(x) \leq g(x)\end{cases}[/tex]
Investiguemos:
[tex]f(x)-g(x)\geq0 \Rightarrow x^3-x-3x\geq0 \Rightarrow x^3-4x\geq0\Rightarrow\\\\x(x^2-4)\geq0\Rightarrow x^2-4\geq0[/tex]
Como [tex]x^2-4[/tex] é uma parábola com a concavidade voltada para cima e raízes -2 e 2, então, entre as raízes temos [tex]x^2-4\leq0[/tex]
Temos, então, que:
[tex]\begin{cases} \text{Se }x\leq-2\Rightarrow f(x)\geq g(x)\\ \text{Se }-2\leq x\leq2\Rightarrow f(x)\leq g(x)\\ \text{Se }x\geq2\Rightarrow f(x)\geq g(x) \end{cases}[/tex]
Podemos agora determinar que diferença de funções devemos integrar, de forma a obter a área entre as curvas.
A área entre as curvas em um intervalo qualquer [tex][a,b]\subset\mathbb{R}[/tex] é dada, portanto, por:
[tex]\begin{cases} \text{Se }[a,b]\subset(-\infty,-2]:\text{\'Area =}\int\limits_a^b x^3-x-3x\,dx \\\\ \text{Se }[a,b]\subset[-2,2]:\text{\'Area =}\int\limits_a^b 3x-x^3+x\,dx \\\\ \text{Se }[a,b]\subset[2,+\infty):\text{\'Area =}\int\limits_a^b x^3-x-3x\,dx \end{cases}[/tex]
[tex]\Rightarrow \begin{cases} \text{Se }[a,b]\subset(-\infty,-2]:\text{\'Area =}\int\limits_a^b x^3-4x\,dx \\\\ \text{Se }[a,b]\subset[-2,2]:\text{\'Area =}\int\limits_a^b 4x-x^3\,dx \\\\ \text{Se }[a,b]\subset[2,+\infty):\text{\'Area =}\int\limits_a^b x^3-4x\,dx \end{cases}[/tex]
Note, especialmente, que qualquer intervalo [tex][a,b]\subset\mathbb{R}\ |\ a<2\text{ e }b>2[/tex] pode ser particionado da seguinte forma:
[tex][a,2]\ \bigcup\ [2,b][/tex]
A observação é análoga para [tex][a,b]\subset\mathbb{R}\ |\ a<-2\text{ e }b>-2[/tex]