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Sagot :
Elevando a equação ao quadrado:
[tex]x - \frac{1}{x} = 3 \\\\ \left ( x - \frac{1}{x} \right )^2 = 3^2 \\\\ x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9 \\\\ x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 9 \\\\ \boxed{x^2 + \frac{1}{x^2} = 11}[/tex]
Elevando a equação ao cubo:
[tex]x - \frac{1}{x} = 3 \\\\ \left ( x - \frac{1}{x} \right )^3 = 3^3 \\\\ x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} = 27 \\\\ x^3 - \frac{3x}{1} + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3} = 27 \\\\ x^3 - 3\underbrace{\left (x - \frac{1}{x} \right )}_{3} - \frac{1}{x^3} = 27 \\\\ x^3 - 3 \cdot 3 - \frac{1}{x^3} = 27 \\\\ x^3 - \frac{1}{x^3} = 27 + 9 \\\\ \boxed{x^3 - \frac{1}{x^3} = 36}[/tex]
Por fim, o que se pede:
[tex]x^2 - \frac{1}{x^3} + x^3 + \frac{1}{x^2} = \\\\ \left ( x^2 + \frac{1}{x^2} \right ) + \left ( x^3 - \frac{1}{x^3} \right ) = \\\\ 11 + 36 = \\ \boxed{\boxed{47}}[/tex]
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