Olá, Janacris1990.
Para que a reta x + y + k = 0 tangencie a circunferência x² +y² + 2xy - 6 = 0, deve existir um ponto (x,y) que seja a interseção das duas figuras, ou seja, deve existir um ponto (x,y) que satisfaça as duas equações.
Isolemos o y na equação da reta:
[tex]x+y+k=0 \Rightarrow y=-x-k [/tex]
Substituindo agora o y na equação da circunferência, temos:
[tex]x^2+(-x-k)^2+2x(-x-k)-6=0 \Rightarrow
\\\\
x^2+x^2+2kx+k^2-2x^2-2kx-6=0 \Rightarrow
\\\\
k^2-6=0 \Rightarrow k^2=6 \Rightarrow \boxed{k=\pm\sqrt6}[/tex]
