Olá, Adam.
Receita = [tex]nx[/tex]
Custo = [tex]nc[/tex]
Lucro = Receita - Custo = [tex]nx-nc=n(x-c)[/tex]
Portanto, o Lucro L(x) é dado por:
[tex]L(x)=n(x-c)=[\frac{a}{x-c}+b(100-x)](x-c)=\\\\=a+(100b-bx)(x-c)=\\\\
=a+100bx-100bc-bx^2+bcx=\\\\
=a-100bc+b(100+c)x-bx^2[/tex]
A função L(x) é uma parábola com a concavidade voltada para baixo uma vez que o termo que acompanha x² é negativo (igual a -b).
Portanto, no ponto onde a derivada de L(x) se anula, o lucro é máximo.
Assim:
[tex]\frac{dL}{dx}=0 \Leftrightarrow b(100+c)-2bx=0 \Leftrightarrow 2bx=b(100+c) \Leftrightarrow \\\\
2x=100+c \Leftrightarrow x=\frac12(100+c) \Leftrightarrow \boxed{x=50+\frac{c}2}[/tex]
Este valor de x que anula a derivada de L(x) é, portanto, o preço que maximiza o lucro.
