Este número [tex]p^2+2[/tex] só poderá ser um número par se [tex]p[/tex] for par, ou seja, [tex]p[/tex] teria que ser [tex]2[/tex], já que é o único primo par. Então:
[tex]p^2+2=2^{2}+2\\ p^2+2=4+2=6[/tex]
Calculando, [tex]mdc(4,6)=2[/tex].
Se [tex]p^2+2[/tex] for um número ímpar, [tex]p[/tex] também será ímpar, ou seja, será qualquer primo diferente de [tex]2[/tex]. Como [tex]4[/tex] é [tex]2^{2}[/tex] e [tex]p[/tex] seria um número ímpar, teríamos que:
[tex]mdc(p^2+2,4)=1[/tex]
Ou seja, ou [tex]d=1[/tex], ou [tex]d=2[/tex]