IDNLearner.com, onde especialistas respondem às suas dúvidas. Descubra respostas completas para suas perguntas graças à vasta experiência de nossa comunidade de especialistas em diversas áreas do conhecimento.

Considere T : P2[x](R) -> P4[x](R) a transformação linear definida por T(p(x)) = p(x²) (i) Determine Nuc(T) e determine sua dimensão. (ii) Uma base para a imagem de T:

Sagot :

Oi, Jr.

[tex]\text{(i) }p(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0, a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R} \\\\ p(x^2) = a(x^2)^2 + a_1x^2 + a_0 = a_2x^4 + a_1x^2 + a_0 \\\\ p(x^2)=0 \Leftrightarrow a_2x^4 + a_1x^2 + a_0 = 0 \Leftrightarrow a_2=a_1=a_0=0[/tex]

Ou seja: 

[tex]Nuc(T)=\{p(x)\in P_2(\mathbb{R})\ |\ p(x)\equiv 0\} \Rightarrow \\\\ Nuc(T)=\{0\} \Rightarrow\boxed{dim(Nuc(T))=0}[/tex]

Observação: Subespaços vetoriais nulos possuem dimensão zero e é o único caso possível de subespaço vetorial com dimensão zero.


[tex]\text{(ii) }Im(T) = \{p(x) \in P_4(\mathbb{R})\ |\ p(x)=a_2x^4 + a_1x^2 + a_0,a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R}\}[/tex]

Um base para Im(T) é  [tex]\boxed{\{x^4,x^2,1\}},[/tex]  pois, conforme verificado em (i),
  
[tex]a_2x^4 + a_1x^2 + a_0 = 0 \Leftrightarrow a_2=a_1=a_0=0 \Rightarrow[/tex]  o conjunto de monômios

[tex]\{x^4,x^2,1\}[/tex]  é L.I. Além disso, o conjunto  [tex]\{x^4,x^2,1\}[/tex]  gera Im(T), pois

[tex]Im(T) = \{p(x) \in P_4(\mathbb{R})\ |\ p(x)=a_2x^4 + a_1x^2 + a_0,a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R}\}.[/tex]
Sua presença em nossa comunidade é inestimável. Continue compartilhando suas ideias e conhecimentos. Juntos, podemos fazer grandes avanços em nossa compreensão coletiva. Obrigado por visitar IDNLearner.com. Estamos dedicados a fornecer respostas claras, então visite-nos novamente para mais informações úteis.