O problema nos diz que:
[tex]a_{1}+a_{2}=5\\
a_{9}+a_{10}=53[/tex]
E pela fórmula [tex]a_{n}=a_{1}+(n-1)r[/tex], temos:
[tex]a_{2}=a_{1}+(2-1)r\Longrightarrow a_{2}=a_{1}+r[/tex]
[tex]a_{9}=a_{1}+(9-1)r\Longrightarrow a_{9}=a_{1}+8r[/tex]
[tex]a_{10}=a_{1}+(10-1)r\Longrightarrow a_{10}=a_{1}+9r[/tex]
Substituindo os valores encontrados acima nas informações do problema, temos que:
[tex]a_{1}+a_{1}+r=5\\a_{1}+8r+a_{1}+9r=53[/tex]
Então:
[tex]2a_{1}+r=5\\2a_{1}+17r=53[/tex]
Multiplicando-se a primeira linha do sistema obtido acima por -1, temos:
[tex]-2a_{1}+-r=-5\\2a_{1}+17r=53[/tex]
[tex]\Longrightarrow16r=48[/tex]
[tex]r=\dfrac{48}{16}[/tex]
[tex]r=3[/tex]
