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1-Mostre que a aplicação de R em R definida por f(x) = x+3 é bijetora. Determine sua inversa!

 

2-Dada a aplicação f(x) = |x|. Determine f(1-[tex]\sqrt2[/tex]), f-¹([0,3]), f((-1,2]). Esboce cada Situação!


Galerinha precisando disso pra quinta anoite alguém pode me ajudar?

 

Sagot :

Celioidn

Olá, César,

 

(1) Para mostrar que f(x) é bijetora, devemos mostrar que ela é injetora e sobrejetora.

 

Prova de que f(x) é injetora (por absurdo):
[tex]Suponhamos\ que\ existam\ x_1\neq x_2\ tais\ que\ f(x_1)=f(x_2).[/tex]
[tex]Como\ f(x_1)=f(x_2)\ temos\ que\ f(x_1)-f(x_2)=0.[/tex]
[tex]Mas\ f(x_1)-f(x_2)=x_1 + 3 - x_2 - 3 = x_1 - x_2\neq 0,[/tex]
[tex]pois,\ por\ hip\'otese,\ \ x_1\neq x_2\ (\mathbf{absurdo})[/tex]
[tex]\therefore f\ \'e\ injetora[/tex]


Definição: f(x) é sobrejetora se: [tex]\forall y \in CD, \exists x \in D \mid f(x)=x+3=y.[/tex]


[tex]\mathbf{Prova:}\\Seja\ y \in CD.\\Tomando-se\ x\ \mid x = y - 3,\ temos\ que[/tex]

[tex]f(x)=f(y-3)=y-3+3=y \Rightarrow\\ \forall y \in CD\ \'e\ [/tex]
[tex]poss\'ivel\ encontrar\ x\in D \mid f(x)=y[/tex]
[tex]\therefore \ f(x)\ \'e\ sobrejetora[/tex]
[tex]\therefore \ f(x)\ \'e\ \mathbf{bijetora}\ e\ f^{-1}(x)=x-3[/tex]

 

 

(2)

[tex]\begin{cases}& f(x) = x,\ se\ x\geq 0 \\ & f(x) = -x,\ se\ x<0 \end{cases}\\[/tex]


[tex](a)\ f(1-\sqrt{2})=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1,\ pois\ \sqrt{2} > 1\\\\
(b)\ f^{-1}([0,3])=x,\ pois\ x>0,\ \forall x \in [0,3]
\\\\
(c)\ f^{-1}((-1,2])\ n\~ao\ existe,\ pois\ f((-1,2])\ n\~ao\ \'e\ injetora,\\
uma\ vez\ que,\ para\ x_1=-\frac12\ e\ x_2=\frac12,\ temos\ f(x_1)=f(x_2)=\frac12.\\
Como\ f\ n\~ao\ \'e\ injetora \Rightarrow\ f\ n\~ao\ \'e\ bijetora \Rightarrow f\ n\~ao\ \'e\ invers\'ivel[/tex]

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