Olá, Rafael.
Na palavra "ARARAQUARA" temos 5 repetições da letra "A" e 3 repetições da letra "R".
Vamos utilizar, então, o Princípio Fundamental da Contagem para contar as possibilidades de permutações e dividir o resultado por [tex]5! \cdot 3![/tex] (5 e 3 repetições):
[tex]a)\ A--------A\\\\\ \underbrace{\underline{5}}_{A}\times\underbrace{\underline{8}\times\underline{7}\times\underline{6}\times\underline{5}\times\underline{4}\times\underline{3}\times\underline{2}\times\underline{1}}_{\text{outras letras}}\times\underbrace{\underline{4}}_{A}=\frac{5\times8!\times4}{5!3!}=\\\\=\frac{20\times8.7.6.5!}{5!.3.2.1}=20\cdot8\cdot7=1.120\text{ anagramas}[/tex]
[tex]b)\ AA\underbrace{-}_{\neq A}-------\\\\ \underbrace{\underline{5}}_{A}\times\underbrace{\underline{4}}_{A}\times\underbrace{\underline{5}}_{R,R,Q,U,R}\times\underbrace{\underline{7}\times\underline{6}\times\underline{5}\times\underline{4}\times\underline{3}\times\underline{2}\times\underline{1}}_{\text{outras letras}}=\frac{5\times4\times7!\times5}{5!3!}=\\\\=\frac{100\times7.6.5!}{5!.3.2.1}=100\times7=700\text{ anagramas}[/tex]
[tex]c)\ A-A-A-A-A-\text{ ou }-A-A-A-A-A\\\\ \underbrace{\underline{5}}_{A}\times\underline{5}\times\underbrace{\underline{4}}_{A}\times\underline{4}\times\underbrace{\underline{3}}_{A}\times\underline{3}\times\underbrace{\underline{2}}_{A}\times\underline{2}\times\underbrace{\underline{1}}_{A}\times\underline{1}=\frac{5!5!}{5!3!}=\frac{5.4.3!}{3!}=\\\\=20\text{ anagramas}[/tex]
Para a forma _A_A_A_A_A o cálculo é análogo e chegamos a outros 20 anagramas.
Somando os 20 anagramas da forma a forma A_A_A_A_A_ com os 20 anagramas da forma _A_A_A_A_A temos um total de 20 + 20 = 40 anagramas.
