Acredito que você saiba que:
[tex]\Delta=b^{2}-4ac[/tex]
Para que uma função de segundo grau admita duas raízes distintas, o resultado do [tex]\Delta[/tex] deve ser maior do que 0 (se for zero admite apenas uma raiz real, e se for menor do que zero não admite nenhuma).
Para nossa função:
[tex](m-1)x^2+mx+1=0[/tex]
Temos [tex]a=(m-1)[/tex], [tex]b=m[/tex] e [tex]c=1[/tex].
Então,
[tex]\Delta=m^2-4(m-1)(1)[/tex]
[tex]\Delta=m^2-4m+4[/tex]
Note que [tex]\Delta[/tex] é uma função de segundo grau. Como queremos achar os valores de m que tornem [tex]\Delta[/tex] maior do que 0, devemos começar encontrando os valores que o tornem 0. Aplicamos Bhaskara, com [tex]a=1[/tex], [tex]b=-4[/tex] e [tex]c=4[/tex]:
[tex]m=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]
[tex]m=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4(1)(4)}}{2(1)}[/tex]
[tex]m=\frac{4\pm\sqrt{16-16}}{2}[/tex]
[tex]m=\frac{4}{2}[/tex]
[tex]m=2[/tex]
Como [tex]\Delta[/tex] só tem uma raiz e [tex]a>0[/tex], então seu gráfico é da forma: positivo, nulo, positivo (veja o gráfico em anexo). Portanto, o único ponto em que o [tex]\Delta[/tex] não é maior do que zero é no ponto m=2.
Se m assumir o valor 1, a função deixará de ser de segundo grau. Então m pode assumir qualquer valor, exceto 1 e 2
