Para calcular o seno e o cosseno existem várias técnicas. Existem técnicas que nos permitem calcular o seno e cosseno de qualquer ângulo. A mais conhecida é pela expansão da série de Maclaurin. Porém, não é nem prática para se calcular na mão (geralmente é mais útil para ser usada por um computador) nem fácil de entender para alguém que não cursou Cálculo (ensino superior).
Mas algumas técnicas mais simples, que nos permitem calcular ALGUNS ângulos com poucos cálculos, são ensinadas no ensino médio.
Para utilizá-las você antes precisa de ter alguns conhecimentos de trigonometria básica. Existe uma tabela que todo estudante deveria saber:
[tex]30^{o}[/tex] | [tex]45^{o}[/tex] | [tex]60^{o}[/tex]
sen [tex]\frac{1}{2}[/tex] | [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] | [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
cos [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] | [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] | [tex]\frac{1}{2}[/tex]
tan [tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex] | [tex]1[/tex] | [tex]\sqrt{3}[/tex]
[tex]\sin(a)^2+\cos(a)^2=1[/tex]
Sabendo disso, agora você pode aplicar algumas técnicas para calcular seno e cosseno de alguns ângulos diferentes desses (se ainda não tiver aprendido isso na escola, então seu professor só exigirá o cálculo de seno e cosseno com ângulos 30º, 45º e 60º mesmo).
Observação: sen e sin são a mesma coisa (sin é seno em inglês).
[tex]\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)[/tex]
[tex]\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)[/tex]
[tex]\tan(a+b)=\frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}[/tex]
A partir dessas, você pode obter outras:
Note que é a-b=a+(-b), então não é necessário você decorar estas debaixo, pode usar as de cima, com adição, e o resultado será o mesmo.
[tex]\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)[/tex]
[tex]\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)[/tex]
[tex]\tan(a-b)=\frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}[/tex]
Agora, se quisermos calcular, por exemplo,
[tex]\sin(75^{o})[/tex].
Sabemos que:
[tex]\sin(75^{o})=\sin(45^{o}+30^{o})[/tex]
Pelas equações,
[tex]\sin(45^{o}+30^{o})=\sin(45^{o})\sin(30^{o})+\cos(45^{o})\cos(30^{o})[/tex]
Nós sabemos o valor de [tex]\sin(45^{o})[/tex], [tex]\sin(30^{o})[/tex], [tex]\cos(45^{o})[/tex] e [tex]\cos(30^{o})[/tex], pela tabela.
[tex]\sin(45^{o})\sin(30^{o})+\cos(45^{o})\cos(30^{o})=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=[/tex]
[tex]\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}=[/tex]
[tex]\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}[/tex]
Portanto,
[tex]\sin(75^{o})=\boxed{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}[/tex]
