Os pontos A e B são A = (3 - 1/√2, 4 + 1/√2) e B = (3 + 1/√2, 4 - 1/√2).
Primeiramente, vamos determinar a equação reduzida da circunferência x² + y² - 6x - 8y + 24 = 0.
Para isso, precisamos completar quadrado:
x² - 6x + 9 + y² - 8y + 16 = -24 + 9 + 16
(x - 3)² + (y - 4)² = 1.
Portanto, a circunferência está no centro C = (3,4) e possui raio 1.
Agora, vamos determinar a equação da reta perpendicular à y = x + 7.
Observe que podemos escrever essa equação da forma x - y = -7.
A reta perpendicular será da forma x + y = c.
Substituindo o centro da circunferência, obtemos:
3 + 4 = c
c = 7.
Logo, a reta perpendicular é x + y = 7.
Considerando que y = -x + 7, vamos substituir esse valor de y na equação reduzida da circunferência:
(x - 3)² + (-x + 7 - 4)² = 1
x² - 6x + 9 + (-x + 3)² = 1
x² - 6x + 9 + x² - 6x + 9 = 1
2x² - 12x + 17 = 0.
Utilizando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação do segundo grau acima, obtemos os valores para x: 3 - 1/√2 e 3 + 1/√2.
Se x = 3 - 1/√2, então y = 4 + 1/√2.
Se x = 3 + 1/√2, então y = 4 - 1/√2.
Portanto, A = (3 - 1/√2, 4 + 1/√2) e B = (3 + 1/√2, 4 - 1/√2).
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