Vamos ver o perímetro do retângulo primeiro
2b + 2h (duas vezes a medida da base mais duas vezes a medida da altura)
temos então que 2b+2h = 80 m
A área do retângulo vai variar sempre de forma que o perímetro continue valendo 80m, ok?
Vamos ajeitar essa expressão
2b+2h = 80
2(b+h)=80
b+h=40
b=40-h
Agora temos que a área é dada por base vezes altura
A = b.h
A = (40-h).h (substituindo o valor de b na expressão)
A = 40h - h2
Temos então uma equação do segundo grau aqui
-h2 +40h = 0
Lembra do gráfico de equação do segundo grau? é uma parábola. E a área vai ser máxima quando você estiver olhando o valor do vértice desta parábola
Calculando então o vértice temos
y do vértice = - (delta) / 4a
yv = - (40(2) - 4. (-1).0) 4(-1)
yv = -1600 / -4
yv = 400
Ou seja temos uma área máxima de 400 m2 para o retângulo de perímetro 80m
Calculando o xv (x do vértice) vamos ver para que valor isso acontece
xv = -b/2a
xv = -40/2(-1)
xv = 20
Ou seja quando h=20 temos
-h2 +40h = 0
-(20)2 +40(20) = -400 + 800 = 400
e para conferir temos que quando h=20 temos que b = 40-h
b = 20
Portanto o nosso retângulo tem base 20 e altura 20 ou seja (olha que interssante)
O retângulo de maior área existente é na realidade um quadrado.
