a) [tex]2(seny+senx).(seny-senx)=cos2x-cos2y[/tex]
Calculamos o produto da soma pela diferença: [tex](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/tex]
[tex]2(sen^2y-sen^2x)=cos2x-cos2y[/tex]
[tex]2sen^2y-2sen^2x=cos2x-cos2y[/tex]
Usamos a igualdade [tex]sen^2x+cos^2x=1[/tex], onde [tex]sen^2x=1-cos^2x[/tex]
[tex]2(1-cos^2y)-2(1-cos^2x)=cos2x-cos2y[/tex]
[tex]2-2cos^2y-2+2cos^2x=cos2x-cos2y[/tex]
[tex]-2cos^2y+2cos^2x=cos2x-cos2y[/tex]
[tex]2cos^2x-2cos^2y=cos2x-cos2y[/tex]
Usaremos a igualdade
[tex]cos(x+x)=cos2x=cosx.cosx-senx.senx=cos^2x-sen^2x[/tex]
[tex]cos2x=cos^2x-sen^2x[/tex]
Usando a igualdade [tex]sen^2x=1-cos^2x[/tex]
[tex]cos2x=cos^2x-(1-cos^2x)=cos^2x-1+cos^2x=-1+2cos^2x[/tex]
[tex]cos2x=-1+2cos^2x[/tex]
[tex]cos2x+1=2cos^2x[/tex]
[tex]2cos^2x=cos2x+1[/tex]
Agora voltando ao problema, usando a igualdade acima
[tex]2cos^2x-2cos^2y=cos2x-cos2y[/tex]
[tex]cos2x+1-(cos2y+1)=cos2x-cos2y[/tex]
[tex]cos2x+1-cos2y-1=cos2x-cos2y[/tex]
[tex]cos2x-cos2y=cos2x-cos2y[/tex]
Provando assim a igualdade.
b) [tex]senx+cosx=m[/tex]
Sabemos que
[tex]sen(x+x)=sen2x=senx.cosx+senx.cosx=2.senx.cosx[/tex]
[tex]sen2x=2.senx.cosx[/tex]
Agora voltamos ao que foi dado:
[tex]senx+cosx=m[/tex]
Elevamos ambos os lados ao quadrado. Assim:
[tex](senx+cosx)^2=m^2[/tex]
[tex]sen^2x+2.senx.cosx+cos^2x=m^2[/tex]
[tex]sen^2x+cos^2x+2.senx.cosx=m^2[/tex]
Usamos a identidade [tex]sen^2x+cos^2x=1[/tex]
[tex]1+2.senx.cosx=m^2[/tex]
[tex]2.senx.cosx=m^2-1[/tex]
Ficando provado ao igualdade apresentada.
