Para encontrar a razão ([tex]q[/tex]) de uma progressão geométrica (PG) devemos fazer a razão entre um termo e o seu antecessor, pois sabemos que a fórmula do termo geral ([tex]a_n[/tex]) de uma PG é:
[tex]a_n=a_1.q^{n-1}[/tex]
Se fizermos a razão entre dois termos consecutivos teremos a razão ([tex]q[/tex]). Assim:
[tex] \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_1.q^{(n-1)}}{a_1.q^{[(n-1)-1]}}=\frac{1.q^(n-1)}{1.q^{(n-1)}.q^{-1}}[/tex]
[tex] \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{q^(n-1)}{q^{(n-1)}.q^{-1}}=\frac{1}{1.q^{-1}}=\frac{1}{q^{-1}}=q^{1}=q[/tex]
[tex] \frac{a_n}{a_{n-1}}=q[/tex]
Sabendo disto basta fazer a razão entre dois termos consecutivos quaisquer desta PG. Assim:
[tex]q=\frac{a_2}{a_{1}}=\frac{5x+1}{5x}[/tex]
Se fizermos com outros dois termos.
[tex]q=\frac{a_3}{a_{2}}=\frac{5x+2}{5x+1}[/tex]
Podemos perceber que está sequência não é uma PG pois encontramos razões diferentes. Esta sequência é uma progressão aritmética (PA). Podemos perceber calculando a razão ([tex]r[/tex]) entre dois termos de uma PA. Assim:
[tex]a_n=a_1+r(n-1)[/tex]
Logo:
[tex]a_2=a_1+r(2-1)[/tex]
[tex]a_2=a_1+r(1)[/tex]
[tex]a_2=a_1+r[/tex]
[tex]5x+1=5x+r[/tex]
[tex]5x+1-5x=r[/tex]
[tex]1=r[/tex]
[tex]r=1[/tex]
Para testar vamos fazer com outros termos:
[tex]a_n=a_1+r(n-1)[/tex]
[tex]a_3=a_1+r(3-1)[/tex]
[tex]a_3=a_1+r(2)[/tex]
[tex]a_3=a_1+2r[/tex]
[tex]5x+2=5x+2r[/tex]
[tex]5x+2-5x=2r[/tex]
[tex]2=2r[/tex]
[tex]2r=2[/tex]
[tex]r=\frac{2}{2}[/tex]
[tex]r=1[/tex]
Como podemos ver a razão ([tex]r[/tex]) foi a mesma. Então podemos concluir que esta sequência NÃO é um PG e sim uma PA com razão [tex]1[/tex].
ATENÇÃO: Analisei melhor sua pergunta e para ter sentido a sequência dada deve ser (5^x, 5^{x+1}, 5^{x+2}, 5^{x+3}, ...). Esta sim é uma PG cuja razão é:
[tex] \frac{a_n}{a_{n-1}}=q[/tex]
[tex] \frac{a_2}{a_{2-1}}=q[/tex]
[tex] \frac{a_2}{a_{1}}=q[/tex]
[tex] \frac{5^{x+1}}{5^x}=q[/tex]
[tex] \frac{5^x.5^1}}{5^x}=q[/tex]
[tex] \frac{1.5^1}}{1}=q[/tex]
[tex]5^1=q[/tex]
[tex]5=q[/tex]
[tex]q=5[/tex]
Logo a razão ([tex]q[/tex]) da PG dada será [tex]5[/tex].
