O termo geral deste produto é:
[tex]T_n=\binom {5} {n} (2x)^{5-n}b^n[/tex]
Então o termo onde x tem expoente 4 é
[tex]4=5-n[/tex]
[tex]n=5-4[/tex]
[tex]n=1[/tex]
Então calculamos o termo 1, assim:
[tex]T_1=\binom {5} {1} (2x)^{5-1}b^1[/tex]
[tex]T_1=\frac{5!}{1!(5-1)!} (2x)^{4}b[/tex]
[tex]T_1=\frac{5.4!}{4!} 2^4x^{4}b[/tex]
[tex]T_1=5.16x^{4}b[/tex]
[tex]T_1=80b.x^{4}[/tex]
Logo, o coeficiente 1 é [tex]80b[/tex].
Então o termo onde x tem expoente 3 é
[tex]3=5-n[/tex]
[tex]n=5-3[/tex]
[tex]n=2[/tex]
Então calculamos o termo 2, assim:
[tex]T_2=\binom {5} {2} (2x)^{5-2}b^2[/tex]
[tex]T_2=\frac{5!}{2!(5-2)!} (2x)^{3}b^2[/tex]
[tex]T_2=\frac{5.4.3!}{2.3!} 2^3x^{3}b^2[/tex]
[tex]T_2=\frac{5.4}{2} 8x^{3}b^2[/tex]
[tex]T_2=\frac{5.2}{1} 8x^{3}b^2[/tex]
[tex]T_2=10.8x^{3}b^2[/tex]
[tex]T_2=80b^2.x^{3}[/tex]
Logo, o coeficiente 2 é [tex]80b^2[/tex].
Foi dado que o coeficiente do termo 1 é 8 vezes o coeficiente do termo 2. Então:
[tex]80b=8.80b^2[/tex]
[tex]\frac{80}{8.80}=\frac{b^2}{b}[/tex]
[tex]\frac{1}{8.1}=\frac{b.b}{b}[/tex]
[tex]\frac{1}{8}=\frac{b.1}{1}[/tex]
[tex]\frac{1}{8}=b[/tex]
[tex]b=\frac{1}{8}[/tex]
Portanto, o valor de [tex]b[/tex] nas condições dadas é [tex]\frac{1}{8}[/tex].
