Olá, StorClaudio.
No desenho em anexo, estão demonstradas as construções geométricas constantes do enunciado do exercício.
[tex]\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180\º \Rightarrow 40\º+\hat{B}+\hat{C}=180\º \Rightarrow \hat{B}+\hat{C}=140\º\ (i)[/tex]
Como [tex]\triangle ABC[/tex] é isósceles [tex]\Rightarrow \hat{B}=\hat{C}[/tex]
Substituindo em (i), temos:
[tex]\hat{B}+\hat{B}=\hat{C}+\hat{C}=140\º \Rightarrow 2\hat{B}=2\hat{C}=140\º \Rightarrow \hat{B}=\hat{C}=70\º \Rightarrow [/tex]
[tex]\begin{cases} \hat{EBD}+\hat{CBD}=70\º \Rightarrow \hat{EBD}+35\º=70\º \Rightarrow \hat{EBD}=35\º \\ \hat{BCE}+\hat{BCD}=70\º \Rightarrow \hat{BCE}+15\º=70\º \Rightarrow \hat{BCE}=55\º \end{cases}[/tex]
No [tex]\triangle BFC[/tex] temos:
[tex]\hat{BFC}+\hat{FCB}+\hat{CBF}=180\º \Rightarrow \hat{BFC}+55\º+35\º=180\º \Rightarrow \\ \hat{BFC}=90\º \Rightarrow \hat{EFB}=\hat{EFD}=\hat{CFD}=90\º \text{ (complementares e} \\ \text{opostos pelo v\'ertice)}[/tex]
No [tex]\triangle BFE[/tex] temos:
[tex]\hat{EBF}+\hat{BFE}+\hat{FEB}=180\º \Rightarrow 35\º+90\º+\hat{FEB}=180\º \\ \Rightarrow \hat{FEB}=55\º[/tex]
Os triângulos [tex]\triangle BDE \text{ e } \triangle BDC[/tex] possuem um lado igual em comum [tex](\overline{BFD})[/tex] e dois ângulos iguais [tex](\hat{EBD}=\hat{CBD}=35\º \text{ e } \hat{BEF}=\hat{BCF}=55\º).[/tex]
Pelo critério LAA (lado, ângulo, ângulo), são, portanto, congruentes [tex] \Rightarrow \overline{EF}=\overline{FC} [/tex]
Isto implica que os triângulos [tex]\triangle DFE \text{ e } \triangle DFC[/tex] também são congruentes, pelo critério LAL (lado, ângulo, lado), pois possuem dois lados iguais [tex](\overline{EF}=\overline{FC} \text{ e } [/tex]
[tex]\overline{DF} \text{, este em comum})[/tex] e um ângulo igual [tex](\hat{DFE}=\hat{DFC}=90\º).[/tex]
Portanto, como [tex]\triangle DFE \text{ e } \triangle DFC[/tex] são congruentes, temos que
[tex]\hat{FED}=\hat{DCF}=15\º[/tex]
Finalmente:
[tex]\hat{FED} + \hat{EFD} + \hat{EDF} = 180\º \Rightarrow[/tex]
[tex]15\º+90\º+\hat{EDF}=180\º \Rightarrow \hat{EDF}=75\º[/tex]
[tex]\therefore \boxed{\hat{EDB}=\hat{EDF}=75\º}[/tex]
