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O custo Fixo de Fabricação de um produto é $ 1.000,00 por mês, e o custo variável por unidade é $ 5,00. Se cada unidade for vendida por $ 7,00:
A) Qual o ponto de nivelamento?
B) Se o produto conseguir reduzir o custo variável por unidade em 20%, á custo do aumento do custo fixo na mesma porcentagem, qual o novo ponto de nivelamento?
C) Qual o aumento no custo fixo necessário para manter inalterado o ponto de nivelamento(em relação ao item A) quando o custo variável por unidade é reduzido em 30%?
Olá, Vanessa.
a) O custo fixo é [tex]C_f = 1000[/tex] (R$ 1.000,00)
O custo variável é [tex]C_v(x) = 5x[/tex] (R$ 5,00 por unidade)
O custo total é [tex]C_t(x) = C_f + C_v(x) = 1000 + 5x[/tex]
A receita é [tex]R(x) = 7x[/tex] (R$ 7,00 por unidade)
O lucro é dado por [tex]L(x) = R(x) - C_t(x) = 7x - (1000 + 5x) = 2x - 1000[/tex]
Ponto de nivelamento é o ponto [tex]x^\star[/tex] tal que [tex]L(x^\star)=0:[/tex]
[tex]L(x^\star)=2x^\star - 1000=0 \Leftrightarrow \boxed{x^\star=500}[/tex]
b) Redução de 20% no custo variável.
O custo variável é [tex]C_v(x) = 80\% \cdot 5x=0,8 \cdot 5x=4x[/tex]
O custo total é [tex]C_t(x) = C_f + C_v(x) = 1000 + 4x[/tex]
A receita é [tex]R(x) = 7x[/tex]
O lucro é dado por [tex]L(x) = R(x) - C_t(x) = 7x - (1000 + 4x) = 3x - 1000[/tex]
Ponto de nivelamento é o ponto [tex]x\star[/tex] tal que [tex]L(x^\star)=0:[/tex]
[tex]L(x^\star)=3x^\star - 1000=0 \Leftrightarrow \boxed{x^\star=333,33...}[/tex]
c) Aumento no custo fixo de forma que o ponto de nivelamento seja 500 e o custo variável seja reduzido em 30%.
O custo fixo é [tex]C_f = 1000+c[/tex]
O custo variável, [tex]C_v(x) = 70\% \cdot 5x=0,7 \cdot 5x=0,35x[/tex]
O custo total é [tex]C_t(x) = C_f + C_v(x) = 1000 + c + 0,35x[/tex]
A receita é [tex]R(x) = 7x[/tex]
O lucro é dado por:
[tex]L(x) = R(x) - C_t(x) = 7x - (1000 + c + 0,35x) = 6,65x - 1000 - c[/tex]
Para que o ponto obtido na letra "a", [tex]x^\star=500,[/tex] continue sendo um ponto de nivelamento devemos ter [tex]L(x^\star)=L(500)=0:[/tex]
[tex]L(500)=6,65 \cdot 500 - 1000 - c=0 \Leftrightarrow \boxed{c=2325}[/tex]
Será necessária, portanto, um aumento no custo fixo de R$ 2.325,00.
Para que os três itens sejam facilmente resolvidos, vamos definir uma função base que servirá para toda a resolução.
Temos que:
1.000 é o custo fixo
5 é o custo variável
Com isso, podemos definir a função do custo, tendo como base uma função de primeiro grau: ax + b = y
F (x) = 5x + 1000; em que x é a quantidade de produtos fabricados e 1000 é o custo fixo, ou seja, se x (produção) for igual a zero, o custo continuará sendo 1000.
Para saber o ponto de nivelamento, vamos relacionar essa função com o valor de venda, que é 7 reais e que também depende da quantidade de produtos.
7x = 5x + 1000
2x = 1000
x = 500
O ponto de nivelamento (valor obtido nas vendas iguala ao valor do custo e a partir daí o que entra é lucro) é atingido com a produção e venda de 500 unidades.
O produtor vai reduzir o custo variável por unidade em 20% às custas do aumento do custo fixo na mesma porcentagem. Ou seja:
80% de 5 reais é R$4,00
120% de 1000 reais é R$1.200,00
A função ficará:
f (x) = 4x + 1200 --> Novos valores variáveis e fixo
Para o nivelamento faremos o mesmo raciocínio do item anterior:
7x = 4x + 1200
3x = 1200
x = 400
O novo ponto de nivelamento é 400 unidades, o que é benéfico para o empresário.
Para manter o nivelamento com 500 unidades quando o custo variável é reduzido em 30%:
70% de 5 reais: R$3,50
7x = 3,5x + B, sendo que x = 500
7 (500) = 3,5 (500) + B
3500 = 1750 + B
B = 1750
O custo fixo deverá ser R$1.750,00, o que representa um aumento de 75%.
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