Resposta:
4
Explicação passo-a-passo:
Para determinar a equação da reta [tex]r[/tex], vamos calcular o seu coeficiente angular. Sendo tangente a [tex]f(x)[/tex], tal coeficiente é igual à derivada dessa função no ponto [tex]x=3[/tex]. Calculando a derivada de
Sendo [tex]f(3)=-3^2+4\cdot3+1=4[/tex] a coordenada em [tex]y[/tex] do ponto em que a reta é tangente, ficamos com a seguinte equação de [tex]r[/tex]:
[tex]f'(3)=\frac{y-4}{x-3}[/tex]
[tex]y-4=f'(3)(x-3)[/tex]
[tex]y-4=(-2)(x-3)[/tex]
[tex]y-4=-2x+6[/tex]
[tex]y=-2x+10[/tex]
Sendo o ponto [tex]C[/tex] o ponto de interseção de [tex]r[/tex] com o eixo X, ficamos com [tex]y=0[/tex], logo a coordenada [tex]x[/tex] dele é dada por:
[tex]-2x+10=0[/tex]
[tex]-2x=-10[/tex]
[tex]x=5[/tex]
Sendo um triângulo retângulo, sua área é igual à metade do produto entre os catetos. O cateto AC mede 5-3=2 enquanto o cateto AB mede 4-0=4, concluindo assim que a área resultante é 4x2/2=4.
