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Temos o seguinte desafio:
Prove que:
[tex]\cos (\alpha + \beta) + cos (\alpha - \beta) = 2 \cos(\alpha) cos(\beta)[/tex]
Primeiro devemos lembrar das fórmulas de adição de arco do cosseno, dada por:
[tex] \cos( \alpha + \beta ) = \cos( \alpha ). \cos( \beta ) - \sin( \alpha ). \sin( \beta ) \\ \cos( \alpha - \beta ) = \cos( \alpha ). \cos( \beta ) + \sin( \alpha ). \sin( \beta ) [/tex]
Substituindo, temos que:
[tex]\cos (\alpha + \beta) + cos (\alpha - \beta) = 2 \cos(\alpha) \cos(\beta) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \cos( \alpha ). \cos( \beta ) - \sin( \alpha ). \sin( \beta ) + \cos( \alpha ). \cos( \beta ) + \sin( \alpha ). \sin( \beta ) = 2 \cos( \alpha ). \cos( \beta ) \\ \cos( \alpha ). \cos( \beta ) + \cos( \alpha ). \cos( \beta ) + \cancel{ \sin( \alpha ). \sin( \beta ) }- \cancel{ \sin( \alpha ). \sin( \beta ) }= 2 \cos( \alpha ). \cos( \beta ) \\ \boxed{ 2 \cos( \alpha ). \cos( \beta ) = 2 \cos( \alpha ). \cos( \beta )}[/tex]
Ptonto, está provado.
Espero ter ajudado