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Olá,
Temos o limite:
[tex] \tt lim_{x \to \: 0} \: \dfrac{sen \: 4x}{3x} \\ [/tex]
Vamos multiplicar a fração do limite por: [tex] \tt \dfrac{4}{3} [/tex]
Temos:
[tex] \tt lim_{x \to \: 0} \: \dfrac{sen \: 4x}{3x} \\ \\ = \tt lim_{x \to \: 0} \: \dfrac{sen \: 4x}{3x} \cdot \dfrac{ \dfrac{4}{3} }{ \dfrac{4}{3} } \\ \\ = \tt lim_{x \to \: 0} \: \dfrac{sen \: 4x}{ \cancel{3}x} \cdot \dfrac{ \dfrac{4}{3} }{ \dfrac{4}{ \cancel{3}} } \\ \\ = \tt lim_{x \to \: 0} \: \dfrac{ \dfrac{4}{3} \cdot sen \: 4x}{4x} \\ \\ = \tt \dfrac{4}{3} \cdot lim_{x \to \: 0} \: \dfrac{sen \: 4x}{4x} \\ \\ [/tex]
Lembre-se do Limite Trigonométrico:
[tex] \tt \: \tt lim_{t \to \: 0} \: \dfrac{sen \: t}{t} = 1\\ \\ [/tex]
Esse limite vale para [tex] \tt \: t = 4x \\ [/tex]
Dessa forma:
[tex]\tt \frac{4}{3} \cdot lim_{x \to \: 0} \: \dfrac{sen \: 4x}{4x} \\ \\ = \tt \frac{4}{3} \cdot 1 \\ \\ \tt \: = \dfrac{4}{3} \\ \\ [/tex]
Assim:
[tex] \boxed{\tt lim_{x \to \: 0} \: \dfrac{sen \: 4x}{3x} = \dfrac{4}{3}} \\[/tex]