Gabrielejones006idn
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seja cos2(x-y) = sen(2x)sen(2y), para tpdo x e y reais, dentro do intervalo (0,pi/2). Com base nessa equação, assinale a opção e apresenta a solução de x+y.

a) pi/2
b) pi/4
c) pi/3
d) pi/6
e) pi/8

Sagot :

Elizeugataoidn

Vamos usar o arco dobro do Seno :

[tex]\text{Sen(2.a)}=2.\text{Sen(a)}.\text{Cos(a)}[/tex]

E vamos usar o arco soma e o arco subtração do cosseno :

[tex]\text{Cos(a+b)}=\text{Cos(a).Cos(b)}-\text{Sen(a).Sen(b) }[/tex]

[tex]\text{Cos(a - b)}=\text{Cos(a).Cos(b)}+\text{Sen(a).Sen(b) }[/tex]

Temos a expressão :

[tex]\text{Cos}^2(\text{x - y)} = \text{Sen(2x).Sen(2y) }[/tex]

Vamos abrir o arco subtração do cosseno e abrir os arcos dobros do Seno :

[tex][\text{Cos(x).Cos(y)+Sen(x).Sen(y)}]^2 = 2.\text{Sen(x).Cos(x).2.Sen(y).Cos(y)}[/tex]

Vamos fazer as seguintes mudanças de variáveis :

[tex]\text{Cos(x).Cos(y) = a }[/tex]

[tex]\text{Sen(x).Sen(y) = b }[/tex]

Substituindo :

[tex](\text{a+b})^2 = \text{4.a.b}[/tex]

[tex]\text a^2+\text b^2 + 2.\text{a.b} = 4.\text{a.b}[/tex]

[tex]\text a^2 - 2.\text{a.b}+\text b^2 = 0[/tex]

[tex](\text{a - b})^2 = 0[/tex]

Desfazendo a troca de variável :

[tex][\text{Cos(x).Cos(y) - Sen(x).Sen(y) } ]^2=0[/tex]

Isso é exatamente o arco soma do cosseno, ou seja :

[tex]\text{Cos}^2(\text{x+y}) = 0[/tex]

[tex]\text{Cos(x+y)} = 0[/tex]

sabemos que Cos(90º) = 0 , logo :

[tex]\displaystyle \text{Cos(x+y)} = \text{Cos}(\frac{\pi }{2})[/tex]

Portanto :

[tex]\huge\boxed{\displaystyle \text{x+y} = \frac{\pi}{2}}\checkmark[/tex]

Letra a

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