Temos a seguinte fórmula que relaciona a quantidade de diagonais com a quantidade de lados de um polígono:
[tex]d=\frac{n(n-3)}{2}[/tex] onde "d" é o número de diagonais e "n" é o número de lados.
Usando esta fórmula calculamos o seguinte para um polígono com 35 diagonais:
[tex]\frac{n(n-3)}{2}=35[/tex]
[tex]n(n-3)=35.2[/tex]
[tex]n(n-3)=70[/tex]
[tex]n^2-3n=70[/tex]
[tex]n^2-3n-70=0[/tex]
[tex]\triangle=(-3)^2-4.1.(-70)=9+280=289[/tex]
[tex]n_1=\frac{3+\sqrt{289} }{2.1}=\frac{3+17}{2}=\frac{20}{2}=10[/tex]
[tex]n_2=\frac{3-\sqrt{289} }{2.1}=\frac{3-17}{2}=\frac{-14}{2}=-7[/tex]
Como não faz sentido o polígono possuir uma quantidade negativa de lados, a única solução válida é [tex]n_1[/tex]
Sendo assim, este polígono possui 10 lados.
