A integral indefinida é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\int \frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{\ln^2x}{2}+C\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
Para resolver essa integral vamos utilizar o método da substituição, i.e vamos escrever essa função de outra forma até ser uma integral imediata, o método consiste em, se temos a integral:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\int f(g(x))g'(x)\,dx\\ \\g(x) = u,\quad g'(x)\,dx = du\\ \\\int f(u)\,du\end{gathered}$}[/tex]
E essa integral em u é mais fácil de resolver que a integral anterior, então se temos a integral:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\int \frac{\ln x}{x}\,dx\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
Vamos utilizar para a substituição:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\ln x = u \Rightarrow \frac{1}{x}\,dx = du\end{gathered}$}[/tex]
Então nossa integral passa a ser:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\int x\frac{u}{x}\,du\\ \\\int u\,du\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
A integral de um monômio é imediata:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \quad n \ne -1\end{gathered}$}[/tex]
Então integrando o monômio temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\int u\,du = \frac{u^{2}}{2}+C\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
Por fim, voltando a variável original:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\int \frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{\ln^2x}{2}+C\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
Espero ter ajudado
Qualquer dúvida respondo nos comentários.
Funções em anexo, com a constante de integração C = 0.
Veja mais sobre em:
brainly.com.br/tarefa/42267661
brainly.com.br/tarefa/42212392
