Temos o seguinte limite:
[tex](a)\lim_{x \to \: 5{}^{ } } \frac{6 - \sqrt{1 + 7x} }{5 - x} \\ [/tex]
Para resolver esse limite, vamos multiplicar o numerador e o denominador, pelo conjugado da expressão que encontra-se no numerador, pois assim vamos eliminar a raiz:
[tex] \frac{6 - \sqrt{1 + 7x} }{5 - x} . \frac{6 + \sqrt{1 + 7x} }{6 + \sqrt{1 + 7x} } \: \to \: \frac{(6) {}^{2} - ( \sqrt{1 + 7x} ) {}^{2} }{(5 - x).(6 + \sqrt{1 + 7x} )} \\ \\ \frac{36 - 1 -7x}{(5 - x).(6 + \sqrt{1 + 7x} )} \: \to \: \frac{-7x + 35}{(5 - x).(6 + \sqrt{1 + 7x} )} \\ \\ \frac{-7. \cancel{(x - 5)}}{( - 1) .\cancel{(x -5)}.(6 + \sqrt{1 + 7x} )} \: \to \: \frac{-7}{ - 6 - \sqrt{1 + 7x} } [/tex]
Provavelmente sumimos com a Indeterminação, portanto vamos substituir o valor a qual o x tende:
[tex] \frac{-7}{ - 6 - \sqrt{1 + 7.5} } \: \to \: \frac{-7}{ - 6 - \sqrt{1 + 35} } \: \to \: \frac{-7}{ - 6 - 6} \\ \boxed{ \frac{7}{12} }[/tex]
Portanto, podemos concluir que:
[tex]\lim_{x \to \: 5{}^{ } } \frac{6 - \sqrt{1 + 7x} }{5 - x} = \frac{7}{12} \\ [/tex]
Temos o seguinte limite:
[tex](b)\lim_{x \to \: 0 {}^{ } } \frac{1 - \cos(x)}{x {}^{2} } \\ [/tex]
Vamos fazer a mesma coisa e multiplicar pelo conjugado do numerador:
[tex] \frac{(1 - \cos(x))}{ {x}^{2} } . \frac{(1 + \cos(x))}{(1 + \cos(x))} \: \to \: \frac{(1) {}^{2} - ( \cos(x)) {}^{2} }{x {}^{2} .(1 + \cos(x)} \\ \\ \frac{1 - \cos {}^{2} (x)}{x {}^{2} + x {}^{2} \cos(x) } [/tex]
Pela trigonometria, sabemos que:
[tex] \sin {}^{2} (x) - 1 = - \cos {}^{2} (x)[/tex]
Substituindo essa informação:
[tex] \frac{1 + \sin {}^{2} (x) - 1}{x {}^{2} + x {}^{2}. \cos(x) } \: \to \: \frac{ \sin {}^{2} (x)}{x {}^{2} + x {}^{2}. \cos(x) } \\ \\ \frac{ \sin(x)}{(x + x. \cos(x)) } . \frac{ \sin(x)}{x} \: \to \: \frac{ \sin(x)}{x}. \frac{ \sin(x)}{x} . \frac{1}{(1 + \cos(x))} [/tex]
Como sabemos, o limite do seno, quando x tende a 0 possui um valor predefinido, que é:
[tex] \boxed{ \lim_{x \to \: 0{}^{ } } \frac{ \sin(x)}{x} = 1 }\\ [/tex]
Para que possamos aplicar essa propriedade, vamos aplicar também a propriedade da multiplicação dos limites:
[tex]\lim_{x \to \: 0 } \frac{ \sin(x)}{x} .\lim_{x \to \: 0} \frac{ \sin(x)}{x} .\lim_{x \to \: 0 } \frac{1}{ 1 + \cos(x)} \\ [/tex]
Substituindo o resultado daquela propriedade:
[tex] 1 \: . \: 1 \: . \:\lim_{x \to \:0 } \frac{1}{1 + \cos(0)} \: \to \: 1 \: . \: 1 \: .\frac{1}{(1 + 1)} \\ \\ 1 \: . \: 1 \:. \: \frac{1}{2} \: \to \: \boxed{ \frac{1}{2} }[/tex]
Portanto podemos concluir que:
[tex] \boxed{\lim_{x \to \: 0 {}^{ } } \frac{1 - \cos(x)}{x {}^{2} } = \frac{1}{2} } \\ [/tex]
Espero ter ajudado
