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os comprimentos de duas circunferências têm razão 2:3. Qual é a razão entreas áreas das duas cicuferencias
Olá!!!!
Como são figuras semelhantes devemos considerar que há semelhança entre seus elementos.
Porém ao fazer semelhança envolvendo comprimento e área devemos "equilibrar" a proporção, elevando ao quadrado o membro onde estão os comrpimentos.
[tex](\frac{2}{3})^2=\frac{A_{1}}{A_{2}}[/tex] assim a razão entra as áreas será:
[tex]\Large{\boxed{\boxed{\frac{A_{1}}{A_{2}=\frac{4}{9}}}}[/tex]
espero ter ajudadoO comprimento de uma circunferência de raio [tex]\text{r}[/tex] é [tex]\text{C}=2\cdot\pi\cdot\text{r}[/tex].
Sejam [tex]\text{C}_1[/tex] e [tex]\text{r}_1[/tex] e [tex]\text{C}_2[/tex] e [tex]\text{r}_2[/tex] os comprimentos e raios desta circunferências, respectivamente, logo:
[tex]\dfrac{\text{C}_1}{\text{C}_2}=\dfrac{2}{3}[/tex]
[tex]3\text{C}_1=2\text{C}_2[/tex]
Desta maneira:
[tex]3\cdot2\pi\cdot\text{r}_1=2\cdot2\cdot\pi\cdot\text{r}_2[/tex]
[tex]3\text{r}_1=2\text{r}_2[/tex]
[tex]\text{r}_1=\dfrac{2}{3}\cdot\text{r}_2[/tex]
Portanto, a razão entre as áreas das circunferências é:
[tex]\text{R}=\dfrac{\pi\cdot(\text{r}_1)^2}{\pi\cdot(\text{r}_2)^2}=\dfrac{4}{9}[/tex]