A probabilidade de uma variável aleatória [tex]X[/tex] com distribuição normal de média [tex]\mu[/tex] e desvio-padrão [tex]\sigma[/tex] estar entre dois valores [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] é calculada da seguinte forma:
[tex]P(x_1<=X<=x_2)=\int\limits^{x_2}_{x_1}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx[/tex]
Como o cálculo desta integral é complexo (obtido apenas através de métodos computacionais numéricos), utiliza-se uma tabela de valores da distribuição normal padrão, onde:
[tex]\begin{cases} \mu=0\\ \sigma=1 \end{cases}[/tex]
Para que a tabela da normal padrão possa ser utilizada, devemos fazer a seguinte transformação na variável [tex]X:[/tex]
[tex]Z=\frac{X-\mu}{\sigma}[/tex]
Esta nova variável [tex]Z[/tex] tem distribuição normal padrão.
O exercício pede para que calculemos:
[tex]P(2 \leq X \leq 2,05)=P(\frac{2-\mu}{\sigma}\leq \frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{2,05-\mu}{\sigma})=[/tex]
[tex]P(\frac{2-\mu}{\sigma}\leq Z \leq \frac{2,05-\mu}{\sigma})[/tex]
No exercício são dados:
[tex]\begin{cases} \mu=2\ cm\\ \sigma=0,04\ cm \end{cases} \Rightarrow P(0 \leq Z \leq\frac{0,05}{0,04}=1,25)=[/tex]
[tex]=P(Z\leq1,25)-P(Z\leq0)[/tex]
Na tabela da normal padrão, em anexo, encontramos os valores:
[tex]P(Z\leq0)=P(Z<0) = 0,5\text[/tex]
[tex]P(Z\leq1,25) = P(Z<1,25) = 0,8944\text[/tex]
Portanto:
P(Z < 1,25) - P(Z < 0) = 0,8944 - 0,5 = 0,3944 = 39,44%
