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Encontre todos os valores reais de m para os quais a equação 3x²- 2x +m = 0 apresente uma raiz sendo o dobro da outra.
Suponha que o conjunto solução da equação seja {a,2a} (uma raiz sendo o dobro da outra.
Agora calculemos a soma S das raizes e o produto P (iremos utilizar na sequencia)
S = a + 2a
S = 3a
P = a . 2a
P = 2a^2
Uma equação que resulta nas soluções {a, 2a} pode ser escrita como:
[tex]x^2-3ax+2a^2=0[/tex]
A equação proposta pode ser modificada dividindo-se convenientemente todos os seus termos por 3 (para obter o coeficiente a=1) ficando assim:
[tex]x^2 -\frac {2}{3}x+\frac{m}{3}=0[/tex]
Comparando-se as duas equações percebemos que:
2a^2=[tex]3a=\frac{2}{3} \Rightarrow a=\frac{2}{9}[/tex]
e que
\frac {m}{3}=[tex]\frac{m}{3}=2a^2 \Rightarrow \frac{m}{3}=2 \cdot (\frac{2}{9})^2 \Rightarrow m=\frac{24}{81}[/tex]