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Resposta:
Segue anexo.
Resolução:
Enunciamos o seguinte
Teorema: Comprimento de curva paramétrica
"Seja [tex]\gamma[/tex] uma curva no [tex]\mathbb{R}^2[/tex] com equações paramétricas [tex]x = f(t)[/tex] e [tex]y = g(t)[/tex]. O comprimento [tex]L[/tex] da curva entre [tex]t = a[/tex] e [tex]t = b[/tex], com [tex]a \leq b[/tex], é dado por
[tex]L = \int\limits^b_a {\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}} \, dt[/tex]."
Para a curva descrita no enunciado, temos [tex]x(t) = 2t[/tex] e [tex]y(t) = \ln(t)[/tex]. Suas derivadas são
[tex]\frac{dx}{dt} = 2[/tex]
[tex]\frac{dy}{dt} = \frac{1}{t}[/tex]
Substituindo estes valores na integral do Teorema acima, junto com [tex]a = 1[/tex] e [tex]b = e[/tex], temos
[tex]L = \int\limits^e_1 {\sqrt{4 + \frac{1}{t^2}}} \, dt[/tex]
Substituindo [tex]u = \sqrt{4t^2 + 1}[/tex], [tex]dt = \frac{\sqrt{4x^2+1} }{4x}[/tex] e então manipulando, mas mantendo os limites em função da variável anterior, temos
[tex]L = \int\limits^{t=e}_{t=1} {1 +\frac{1}{(u-1)(u+1)} } \, du[/tex]
Substituindo [tex]v = u - 1[/tex], [tex]dv = du[/tex] e então manipulando,
[tex]L = \int\limits^{t=e}_{t=1} {1 +\frac{1}{(1 - \frac{2}{v})v^2} } \, dv[/tex]
Substituindo [tex]w = 1 - \frac{2}{v}[/tex], [tex]dv = \frac{v^2}{2} dw[/tex] e então manipulando,
[tex]L = \int\limits^{t=e}_{t=1} {1 +\frac{1}{w } \, dw[/tex],
[tex]L = [1 + \ln(w)]_{t=e} - [1 + \ln(w)]_{t=1}[/tex].
Voltando todos os passos (substituindo uma variável dentro da outra, até termos uma função [tex]w[/tex] em termos de [tex]t[/tex]), podemos finalmente calcular o resultado, que não vou escrever aqui pois fica difícil de entender; segue anexo da resposta.
Tendo uma curva :
[tex]\sf f(t) = (x(t) \ , \ y(t) ) \ \ ;\ \ t \in[a,b][/tex]
Seu comprimento será dado por :
[tex]\displaystyle \sf \int^a_b \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2 }\ dt[/tex]
Temos :
[tex]\displaystyle \sf f(t) = \left(2t, \ln(t) \right)\ \ ; \ \ t\in[1,e] \\\\\\ \left\{ \begin{array}{I}\displaystyle \sf x(t) = 2t \to x'(t) = 2 \\\\ \displaystyle \sf y(t) = \ln(t)\to y'(t) = \frac{1}{t} \end{array} \right \\\\\\ Da{\'i }} : \\\\ \displaystyle \sf C = \int^e_1 \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt \\\\\\ C = \int^e_1 \sqrt{2^2+\left(\frac{1}{t}\right)^2}dt \\\\\\ C = \int^e_1 \sqrt{4+\frac{1}{t^2}} \ dt \\\\\\ C = \int^e_1\sqrt{\frac{4t^2+1 }{t^2}}dt \\\\\\ C = \int^e_1\frac{\sqrt{4t^2+1 }}{t}\ dt[/tex]
Agora façamos :
[tex]\displaystyle \sf t =\frac{1}{2}u \to \frac{du}{2} = dt[/tex]
Daí :
[tex]\displaystyle \sf C = \int^e_1\frac{\sqrt{4t^2+1 }}{t}\ dt \\\\\\ C = \int^e_1\frac{\sqrt{4\frac{u^2}{4}+1}}{\frac{u}{2}}\cdot \frac{du}{2} \\\\\\ C = \int^e_1\frac{\sqrt{u^2+1}}{u} du[/tex]
Agora façamos :
[tex]\displaystyle \sf v = \sqrt{u^2+1}[/tex]
[tex]\displaystyle \sf C = \int^e_1\frac{v^2}{v^2-1}dv[/tex]
[tex]\displaystyle \sf C=-\int^e_1 \frac{v^2}{-v^2+1}dv \\\\\\ \frac{v^2}{-v^2+1} = \frac{1}{-v^2+1}-1 \\\\\\ C = -\int^e_1 \left[\frac{1}{-v^2+1}-1 \right]dv \\\\\\ C=\int^e_1 \frac{1}{v^2-1}\ dv + \int^e_1 1\ dv\\\\\\ C=\int^e_1 \frac{1}{v^2-1}\ dv + \left[\frac{v}{1}\right]^e_1 \\\\\\ \frac{1}{v^2-1} \to \frac{1}{(v+1)(v-1)} = \frac{A}{v+1}+\frac{B}{v-1} \\\\\\ \frac{1}{(v+1)(v-1) } = \frac{Av-A+Bv+B}{(v+1)(v-1)} = \frac{v(A+B)- A +B}{(v+1)(v-1)}[/tex]
[tex]\displaystyle\sf \left\{ \begin{array}{I} \sf A+B = 0 \to A = -B \\\\ \displays\sf -A+B = 1 \to 2B =1 \to \displaystyle B = \frac{1}{2} \to A = \frac{-1}{2} \end{array} \right[/tex]
Daí :
[tex]\displaystyle \sf C =\int^e_1 \frac{1}{v^2-1} + \left[\frac{v}{1}\right]^e_1 \\\\\\ C = \int^e_1\left[\frac{-1}{2(v+1)}+\frac{1}{2(v-1)}\right]dv + \left[\frac{v}{1}\right]^e_1 \\\\\\ C=\int^e_1 \frac{-1}{2(v+1)}+\int^e_1\frac{-1}{2(v+1)}dv+\left[\frac{v}{1}\right]^e_1 \\\\\\ C = \left[\frac{-ln|v+1|}{2} \right]^e_1+\left[\frac{ln|v-1|}{2} \right]^e_1+\left[\frac{v}{1}\right]^e_1[/tex]
Desfazendo a troca de variável :
[tex]\displaystyle \sf C = \left[\frac{-\ln|v+1|}{2} \right]^e_1+\left[\frac{\ln|v-1|}{2} \right]^e_1+\left[\frac{v}{1}\right]^e_1 \\\\\\ C = \left[\frac{-\ln|\sqrt{4t^2+1}+1|}{2} \right]^e_1+\left[\frac{\ln|\sqrt{4t^2+1}-1|}{2} \right]^e_1+\left[\frac{\sqrt{4t^2+1}}{1}\right]^e_1[/tex]
Agora basta aplicar o TFC, substituir os intervalos de integração .