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Encontramos que 2 metros é o valor do comprimento inicial da barra (para T=20ºC) ao usar a equação da dilatação linear [tex]\Delta l = l_0\cdot\alpha\cdot\Delta T[/tex]
Fazemos o estudo para cada barra separadamente, mas levando em conta que ambos tem o mesmo [tex]l_0[/tex]:
Para o ferro:
[tex]\Delta l = l_0\alpha\Delta T[/tex]
[tex]l-l_0 = l_0\alpha(120-20)[/tex]
[tex]l = l_0 + 100l_0\alpha[/tex]
[tex]l = l_0(1+100\alpha)[/tex]
Para o bronze:
[tex]\Delta l' = l_0\alpha'\Delta T'[/tex]
[tex]\Delta l' = l_0\alpha'\Delta T'[/tex]
[tex]l' = l_0 + 100l_0\alpha'[/tex]
[tex]l' = l_0(1+100\alpha')[/tex]
Como a diferença entre [tex]l[/tex] e [tex]l'[/tex] é de 1,2mm, podemos escrever a seguinte equação:
[tex]l'-l =1,2mm= l_0(1+100\alpha')-l_0(1+100\alpha)[/tex]
Ao substituir os valores do ferro em [tex]\alpha[/tex] e do bronze em [tex]\alpha'[/tex], conseguimos encontrar o comprimento inicial da barra:
[tex]1,2mm= l_0(1+100\cdot18\cdot10^{-6})-l_0(1+100\cdot12\cdot10^{-6})[/tex]
Como a diferença de temperatura vale 100, podemos usar isso para simplificar as potências:
[tex]1,2mm= l_0(1+18\cdot10^{-4})-l_0(1+12\cdot10^{-4})[/tex]
Agora fatoramos o [tex]l_0[/tex] e em seguida isolamos [tex]l_0[/tex]:
[tex]1,2mm= l_0(1+18\cdot10^{-4}-1-12\cdot10^{-4})[/tex]
[tex]1,2mm= l_0(18\cdot10^{-4}-12\cdot10^{-4})[/tex]
[tex]1,2mm= l_0(6\cdot10^{-4})[/tex]
[tex]l_0=\dfrac{1,2mm}{6\cdot10^{-4}}[/tex]
Convertendo 1,2mm para metro, temos que [tex]1,2 mm = 1,2\cdot10^{-3}m[/tex]
[tex]l_0=\dfrac{1,2\cdot10^{-3}m}{6\cdot10^{-4}}[/tex]
[tex]l_0=0,2\cdot\dfrac{10^{-3}m}{10^{-4}}\implies l_0 = 0,2\cdot10m = 2 m[/tex]
Portanto, o tamanho de cada barra em 20ºC é de 2 metros.