A Equação de Laplace é uma das equações diferenciais parciais mais importantes da Matemática Aplicada. Essa equação pode ser apresentada na forma bidimensional u subscript x x end subscript plus u subscript y y end subscript equals 0 ou tridimensional u subscript x x end subscript plus u subscript y y end subscript plus u subscript z z end subscript equals 0, e sua solução depende de condições de contorno específicas, como no caso do problema de Dirichlet.



Seja o problema de Dirichlet:

u subscript x x end subscript left parenthesis x comma y right parenthesis plus u subscript y y end subscript left parenthesis x comma y right parenthesis equals 0 comma text end text 0 less than x less than 4 comma text end text 0 less than y less than 2

u left parenthesis x comma 0 right parenthesis equals 0 comma text end text u left parenthesis x comma 2 right parenthesis equals f left parenthesis x right parenthesis comma text end text 0 less or equal than x less or equal than 4

u left parenthesis 0 comma y right parenthesis equals 0 comma text end text u left parenthesis 4 comma y right parenthesis equals 0 comma text end text 0 less than y less than 2

em que f left parenthesis x right parenthesis equals open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x space space space 0 less or equal than x less or equal than 2 end cell row cell 4 minus x space space space 2 less or equal than x less or equal than 4 end cell end table close

Considerando as informações apresentadas, analise as afirmativas a seguir.



I. A solução para esse problema é, para n inteiro positivo, u left parenthesis x comma y right parenthesis equals sum from n equals 1 to infinity of k subscript n e to the power of negative n pi open parentheses 2 minus y close parentheses divided by 4 space end exponent text sen end text open parentheses fraction numerator n pi x over denominator 4 end fraction close parentheses.

II. Os coeficientes podem ser calculados como segue:k subscript n equals 2 over 4 integral from 0 to 4 of f left parenthesis x right parenthesis text sen end text open parentheses fraction numerator n pi x over denominator 4 end fraction close parentheses d x.

III. O problema de Dirichlet é uma condição de fronteira da equação de Laplace que só pode ser aplicado em regiões retangulares como a apresentada.

Considerando o contexto apresentado, é correto o que se afirma em:

Alternativas:

a)
I, II e III.

b)
II, apenas.

c)
I e II, apenas.

d)
I e III, apenas.

e)
I, apenas.