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Resposta:
A área do quadrado II é 8 vezes mais que a do quadrado I
Explicação passo a passo:
Respondendo algebricamente, podemos fazer uma relação entre LADO / LADO e ÁREA / ÁREA pois as duas figuras são semelhantes (por serem quadrados)
- Precisamos relacionar a medida de dois segmentos iguais para aplicar as relações proporcionais, no caso, das duas diagonais.
- Vamos chamar quadrado I de q1 e quadrado II de q2.
Diagonal do quadrado = Lado √2 (propriedade de quadrados)
Perímetro de q1 = 4 * Lado de q1
Diagonal de q2 = Lado de q2 * √2
(substituindo a relação dada no enunciado)
Perímetro de q1 = Diagonal de q2
4 * Lado de q1 = Lado de q2 * √2
A propriedade que eu citei no início define que para formas geométricas semelhantes:
Lado1 / Lado2 = k
Área1 / Área2 = k²
Volume1 / Volume2 = k³
(manipulando a equação:)
4 * Lado de q1 = Lado de q2 * √2
(temos que)
Lado de q1 / Lado de q2 = √2 / 4 = k(constante)
Área de q1 / Área de q2 = k²
Área de q1 / Área de q2 = (√2 / 4)²
Área de q1 / Área de q2 = 2 / 16 = 1 / 8
(manipulando a equação acima, temos que)
Área de q2 * 2 = Área de q1 * 16
Área de q2 = Área de q1 * 16 / 2
Área de q2 = Área de q1 * 8
A área do quadrado II é 8 vezes a área do quadrado I.
Para resolvermos essa questão é necessário relembrarmos alguns conceitos. Bora lá ?
A diagonal de um quadrado é dada por :
Diagonal = lado√2
O perímetro de um polígono corresponde a soma de todos os seus lados.
Como o lado desse quadrado é desconhecido eu vou dizer que ele vale L. Portanto o seu perímetro será equivalente a :
Perímetro = L + L + L + L → 4L
Agora é só organizarmos o enunciado na forma de uma sentença matemática.
diagonal do quadrado II → l√2
Como a diagonal de um quadrado depende do lado e o lado desse quadrado também é desconhecido eu direi que ele vale l. (Não vou dizer que ele vale L porque não está explícito no texto da questão que os lados de ambos os quadrados são iguais).
''A diagonal do quadrado II é igual ao perímetro do quadrado I''
l√2 = 4L
[tex]l = 4L/\sqrt{2}[/tex]
Após a racionalização do denominador nós ficamos com o seguinte :
[tex]l = \frac {4L}{\sqrt{2} }. \frac {\sqrt{2} }{\sqrt{2} }[/tex] → [tex]\boxed {l = \frac {4L\sqrt{2} }{2}}[/tex]
Observe que nós conseguimos chegar em uma equivalencia entre os lados dos quadrados I e II. Agora é só fazermos a comparação entre as suas áreas.
A área de um quadrado é encontrada fazendo a multiplicação dos seus lados. Portanto :
Área I → L²
Área II → l²
No entanto como nós queremos estabelecer uma relação entre as áreas é necessário utilizarmos a equivalencia dos lados encontrada anteriormente.
Área II → l²
Área II → [tex](\frac {4L\sqrt{2}}{2})^2[/tex] → [tex]\frac {16L^2.2}{4}[/tex] [tex]= \frac {32L^2}{4}[/tex] ∴ [tex]\boxed{AII = 8L^2}[/tex]
Como a Área I é igual a L² então nós podemos dizer que :