Com os cálculos realizados concluímos que a expressão logaritmo é:
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_{ \sf \frac{1}{2} } \:8 + \log_4 \:\sqrt{32} = -\: \dfrac{7}{4} } $ }[/tex]
Logaritmo de um número positivo b, na base a, positiva e diferente de 1, é o expoente ao qual se deve elevar a para se obter b.
[tex]\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \log_a b = x \Leftrightarrow b = a^x, ~ com ~ b > 0 ~ e ~ a \neq 1 }[/tex]
Propriedade de logaritmo:
- [tex]\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \log_a a^m = m, pois ~ \log_a a^m = x \Leftrightarrow a^x = a^m }[/tex]
- [tex]\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \log_\frac{1}{a} x = -\: \log_a x }[/tex]
- [tex]\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \log_{ a^b} \: x = \dfrac{1}{b} \cdot \log_a \: x }[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_{ \sf \frac{12}{2} } \:8 + \log_4 \; \sqrt{32} } $ }[/tex]
Aplicando as propriedades de logaritmo, temos:
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_{ \sf \frac{1}{2} } \:8 + \log_4 \:\sqrt{32} = -\: \log_2 2^3 + \log_{2^2} \: \sqrt{2^5} } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_{ \sf \frac{1}{2} } \:8 + \log_4 \:\sqrt{32} = -\: 3 + \dfrac{1}{2} \cdot \log_2 \: 2^{\frac{5}{2}} } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_{ \sf \frac{1}{2} } \:8 + \log_4 \:\sqrt{32} = -\: 3 + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{5}{2} } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_{ \sf \frac{1}{2} } \:8 + \log_4 \:\sqrt{32} = -\: 3 + \dfrac{5}{4} } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_{ \sf \frac{1}{2} } \:8 + \log_4 \:\sqrt{32} = -\: \dfrac{12}{4} + \dfrac{5}{4} } $ }[/tex]
[tex]\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \log_{ \sf \frac{1}{2} } \:8 + \log_4 \:\sqrt{32} = -\: \dfrac{7}{4} }[/tex]
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